V zadaní máme, že chceme hľadať také čísla pre ktoré platí $a^2 + b^2 = 10^k$. Pre $k=1,2$ ich vieme nájsť pomerne ľahko, a to $1^2+3^2=10^1$ a $6^2+8^2=10^2$. Teraz sa to pokúsme dokázať pre ľubovoľné $k$.

Rozdeľme si $k$ na párne a nepárne, takže sa budeme zaoberať osobitne prípadmi $10^{2k+1}$ a $10^{2k}$. Začnime s nepárnymi. Číslo $10^{2k+1}$ vieme napísať ako $10^{2k}\cdot10$. Následne vieme $10$ rozpísať ako $1^2+3^2$, $$10^{2k}(1^2+3^2)=1^2\cdot10^{2k}+3^2\cdot10^{2k}.$$ Teraz vieme každý člen zapísať ako druhú mocninu a dostaneme to, čo sme chceli dokázať: $$1^2\cdot10^{2k}+3^2\cdot10^{2k}=(1\cdot10^{k})^2+(3\cdot10^k)^2=10^{2k+1}.$$

Teraz pre párne. Postup bude totožný ako pri nepárnych, len využijeme identitu $6^2+8^2=10^2$, $$10^{2k}=10^2\cdot10^{2k-2}=(6^2+8^2)10^{2k-2}=6^2\cdot10^{2(k-1)}+8^2\cdot10^{2(k-1)}=(6\cdot10^{k-1})^2+(8\cdot10^{k-1})^2.$$

Zistili sme, že $10^k$ sa dá napísať ako súčet dvoch štvorcov prirodzených čísel, keď $k$ je nepárne aj párne, a teda pre všetky prirodzené čísla.