Zapíšme si najprv zadanú sústavu rovníc v tvare troch rovníc:

$$ \begin{split} \alpha^2+\beta^2+\gamma&=\alpha^2+\beta+\gamma^2, \ \alpha^2+\beta^2+\gamma&=\alpha+\beta^2+\gamma^2, \qquad (0)\ \alpha^2+\beta+\gamma^2&=\alpha+\beta^2+\gamma^2. \end{split}$$

Pri riešení takýchto sústav sa vždy oplatí skúsiť sčítavanie alebo odčítavanie strán jednotlivých rovníc, alebo rovníc samotných. Inak tomu nie je ani tu. Začnime teda tým, že v prvej rovnici odčítame pravú stranu od ľavej:

$$\begin{split} \alpha^2+\beta^2+\gamma&=\alpha^2+\beta+\gamma^2, \ \beta^2+\gamma-\beta-\gamma^2&=0. \end{split}$$

To začína vyzerať celkom sľubne. Bystré oko si všimne, že sa v rovnici vyskytuje rozdiel dvoch štvorcov. Skúsme to teda využiť v náš prospech:

$$\begin{split} \beta^2-\gamma^2-(\beta-\gamma)&=0, \ (\beta-\gamma)(\beta+\gamma)-(\beta-\gamma)&=0, \ (\beta-\gamma)(\beta+\gamma-1)&=0. \end{split}$$

Rovnice v zadaní sú si veľmi podobné. Môžeme si všimnúť, že keby ľubovoľným spôsobom povymieňame $\alpha$, $\beta$ a $\gamma$, zadaná sústava rovníc by ostala nezmenená. Sústava rovníc s takouto vlastnosťou sa nazýva symetrická. Vďaka tomu môžeme aplikovať predošlý postup na ľubovoľnú z rovníc $(0)$, čím sa vieme dopracovať k nasledovným rovniciam:

$$\begin{aligned} (\alpha-\beta)(\alpha+\beta-1)&=0, \qquad &(1) \ (\alpha-\gamma)(\alpha+\gamma-1)&=0, \qquad &(2) \ (\beta-\gamma)(\beta+\gamma-1)&=0.\qquad &(3) \end{aligned}$$

To, že sme dokázali upraviť rovnice na súčin dvoch členov rovný nule nám značne uľahčuje prácu. Vieme, že každá z rovníc bude platiť práve vtedy, keď aspoň jedna zo zátvoriek sa rovná nule.

Z rovnice $(1)$ vieme, že musí platiť aspoň jedna z nasledovných rovníc:

$$\begin{aligned} \beta&=\alpha, \qquad &(1.A) \ \beta&=1-\alpha. \qquad &(1.B) \end{aligned}$$

$\bf{(1.A):}$ Túto rovnosť by sme ďalej vedeli dosadiť do rovnice $(3)$. Ľahko si overíme, že by nás to priviedlo k rovnici $(2)$.

$\bf{(1.B):}$ Rovnako aj túto rovnosť vieme dosadiť do rovnice $(3)$:

$$\begin{split} (1-\alpha-\gamma)(1-\alpha+\gamma-1)&=0, \ (1-\alpha-\gamma)(-\alpha+\gamma)&=0, \ (\alpha+\gamma-1)(\alpha-\gamma)&=0. \end{split}$$

Znova nás to však privedie k rovnici $(2)$.

Aby sme vedeli pokračovať ďalej v riešení, potrebujeme poznať riešenie rovnice $(2)$. To však už v podstate vieme, pretože je analogicky podobné riešeniu $(1)$. Musí platiť aspoň jedno z:

$$\begin{aligned} \gamma&=\alpha, \qquad &(2.A)\ \gamma&=1-\alpha. \qquad &(2.B) \end{aligned}$$

Riešenie sa nám teda znova vetví na dve časti. Máme štyri, ktoré musíme preveriť:

$\bf{(1.A-2.A):}$ Platí $\beta=\alpha$ a $\gamma=\alpha$, čiže $\alpha=\beta=\gamma$. Nakoľko hľadáme len kladné riešenia, prvým riešením je trojica $(\alpha, \alpha, \alpha),$ $\alpha \in \mathbb{R^+}$.

$\bf{(1.A-2.B):}$ Platí $\beta=\alpha$ a $\gamma=1-\alpha$. V tomto prípade musíme dávať pozor na to, kedy sú všetky tri premenné kladné. Musí platiť $\alpha>0$ a zároveň $1-\alpha>0$, teda $\alpha<1$.

Druhým riešením je trojica $(\alpha, \alpha, 1-\alpha),$ $\alpha \in (0,1)$.

$\bf{(1.B-2.A):}$ Platí $\beta=1 - \alpha$ a $\gamma=\alpha$. Podobne ako v predošlom prípade, treba si dať pozor, aby boli všetky premenné kladné. Tretím riešením v tomto prípade je trojica $(\alpha, 1-\alpha, \alpha),$ $\alpha \in (0,1)$.

$\bf{(1.B-2.B):}$ Platí $\beta=1 - \alpha$ a $\gamma=1 - \alpha$. Štvrtým riešením je trojica $(\alpha, 1-\alpha,1 - \alpha),$ $\alpha \in (0,1)$.

Ľahko sa presvedčíme, že všetky štyri typy riešení, ktoré sme našli, naozaj vyhovujú, a to tak, že ich dosadíme do pôvodnej sústavy rovníc.