Opravovatelia

David [email protected]

Začnime tým, že zaznamenáme zmeny v počte fanúšikov jednotlivých tímoch do sústavy rovníc, ktorú si aj upravíme, pričom tím Kolosálnych Matických Slizniakov označíme ako $a$, zatiaľ čo tím Katastrofálne Mizerných Salamandier ako $b$: $$a-0,03\cdot a + 0,05 \cdot b = 0,97 \cdot a + 0,05 \cdot b = a,$$ $$b-0,05\cdot b + 0,03 \cdot a = 0,95 \cdot b + 0,03 \cdot a = b.$$ Prenásobením oboch rovníc $100$ a odrátaním pravých strán od oboch rovníc dostaneme 2 identické rovnice v tvare $$-3 \cdot a + 5 \cdot b = 0.$$ Táto rovnica nám v podstate hovorí o pomere, v ktorom sa fanúšikovia budú deliť. Vidno, že z tejto sústavy 2 informácie, ktoré by nám zaručili riešenie úlohy nedostaneme. Chceme teda nájsť ďalšiu rovnicu, ktorá by nám pomohla túto úlohu vyriešiť. Je ňou rovnica $a + b = 5\ 000\ 000$, keďže fanúšikov je spolu $5$ miliónov. V tomto momente niektoré riešenia pripustili aj, že $a + b \leq 5\ 000\ 000$, čo je tiež pekná úvaha, ktorú tu v krátkosti rozoberieme tiež.

Ak $a + b \leq 5\ 000\ 000$, tak podľa $-3 \cdot a + 5 \cdot b = 0$ vieme, že $a:b=5:3$, teda počet fanúšikov bude v tvare $8k$, kde $k\in \mathbb{N}:8k\leq 5\ 000\ 000$. Potom riešenie bude v tejto situácií také, že tím Kolosálnych Matických Sliziniakov má $5k$ a tím Katastrofálne Mizerných Salamandier má $3k$ fanúšikov, pričom $k\in \mathbb{N}:8k\leq 5\ 000\ 000$.

Vráťme sa však späť ku situácií, ktorá sa vyskytovala výrazne častejšie a tiež je správnym riešením, teda že $a + b = 5\ 000\ 000$. Zostáva nám v tom momente vyriešiť len sústavu rovníc $$a + b = 5\ 000\ 000,$$ $$5 \cdot b = 3 \cdot a.$$ Vynásobením prvej rovnice piatimi a následným dosadením za $5 \cdot b$ z druhej rovnice dostaneme, že $a=3\ 125\ 000$ a následným dosadením do jednej z pôvodných rovníc dostaneme, že $b=1\ 875\ 000$. Môžeme ešte skontrolovať, či máme správne riešenie, teda $3\ 125\ 000 - 3\ 125\ 000 \cdot 0,03 + 1\ 875\ 000 \cdot 0,05=3\ 125\ 000 - 93\ 750 +93\ 750=3\ 125\ 000$ a $1\ 875\ 000 - 1\ 875\ 000 \cdot 0,05 + 3\ 125\ 000 \cdot 0,03=3\ 125\ 000 - 93\ 750 +93\ 750=1\ 875\ 000$.