Opravovatelia

Kubo Poljovka [email protected]

Vzorové riešenie tejto úlohy si môžeš pozrieť aj ako video na našom YouTube kanáli www.youtube.com/KorMatSem.

Vďaka tomu, že $AD$ je os uhla $BAC$ a $EF$ je kolmica na túto os, vieme povedať, že $|AE|=|AF|=x$. Vyplýva to tiež zo zhodností trojuholníkov $ASE$ a $ASF$, kde $S$ je stred strany $AD$. Tieto trojuholníky zdieľajú stranu $AS$ a majú rovnaké uhly pri vrcholoch $A$ a $S$. Tiež si môžeme všimnúť zhodnosť trojuholníkov $ASF$ a $DSF$. Keďže $S$ je stred strany, $|AS|=|SD|$, zdieľajú stranu $SF$ a oba majú medzi týmito stranami pravý uhol. Analogicky vieme postupovať aj pri trojuholníku $DSE$. Vďaka týmto zhodnostiam vieme povedať, že $|AE|=|ED|=|DF|=|AF|=x$. A tiež uhly $|SAF|=|EAS|=|FDS|=|SDE|=\alpha$.

Ďalej si označme uhly pri vrcholoch $B$ a $C$ ako $\beta$ a $\gamma$. Z trojuholníka $ABC$ vieme povedať, že $2\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$. Toto môžeme využiť v trojuholníku $ABD$, kde nám chýba doplniť uhol $EDB$. Keďže už sa v tomto trojuholníku nachádzajú uhly $\alpha$, $\alpha$ a $\beta$, do súčtu $180^\circ$ nám chýba už iba $\gamma$, a teda $|EDB|=\gamma$. Analogicky vieme postupovať v trojuholníku $ADC$ a určiť veľkosť uhla $|CDF|=\beta$. Tieto uhly sme tiež mohli doplniť uvedomením si toho, že $AEDF$ je kosoštvorec, a teda platí $AE \parallel FD$ a $AF \parallel ED$.

Môžeme si teraz všimnúť, že trojuholníky $EBD$ a $FDC$ sú podobné, nakoľko majú zhodné uhly. Ak si označíme pomer dĺžok strán trojuholníkov $EBD$ a $FDC$ ako $k$ a dĺžku strany $|CD|=y$, vieme si podľa toho označiť podobné strany týchto trojuholníkov nasledovne: $$\begin{align} |DB|&=k|CD|=ky, \ |EB|&=k|FD|=kx, \ |CF|&=\frac{|ED|}{k}=\frac{x}{k}.\end{align}$$

****

Porovnaním dĺžok úsečiek na obvode trojuholníka $ABC$ dostaneme rovnosť hľadaných pomerov zo zadania: $$\begin{align} \frac{|AE|}{|EB|}&=\frac{x}{kx}=\frac{1}{k},\ \frac{|CD|}{|BD|}&=\frac{y}{ky}=\frac{1}{k},\ \frac{|CF|}{|AF|}&=\frac{x/k}{x}=\frac{1}{k}.\end{align}$$