Opravovatelia

timka [email protected]

Pozrime sa, čo od nás vlastne chce zadanie – dokázať, že priesečník „nejakých“ kolmíc na priamky $BC$ a $AC$ (osí strán $AC$ a $BC$) je ortocentrom trojuholníka, ktorého dve strany sú zhodou okolností časti týchto priamok. To však znamená, že tieto kolmice musia byť výšky tohoto trojuholníka!

Poďme teda dokázať, že osi strán $BC$ a $AC$ prechádzajú vrcholmi $Q$ a $P$. Alebo radšej naopak – ukážme, že priesečníky osí strán $AC$ a $BC$ s priamkami $BC$, $AC$ ležia na kružnici opísanej trojuholníku $AOB$. Keďže kružnica s priamkou majú najviac dva priesečníky, bude jasné, že tieto priesečníky budú práve body $P$ a $Q$.

Pozrime sa na trojuholníky $AOB$, $BOC$ a $COA$. Všetky sú rovnoramenné, a preto označme uhly pri ich základniach postupne $\alpha,\,\beta,\,\gamma$. Všimnime si, že pri vrchole $C$ máme teraz uhol $\beta+\gamma$. Zároveň, súčet uhlov trojuholníka $ABC$ je $2\alpha+2\beta+2\gamma$, čiže $\alpha+\beta+\gamma=90^\circ$.

Označme $S$ stred strany $BC$. Ďalej označme $W$ priesečník osi $BC$ so stranou $AC$. Potom máme pravouhlý trojuholník $SCW$ s uhlami $90^\circ$ (pri $S$) a $\beta+\gamma$ (pri $C$), čiže posledný uhol, pri $W$, musí byť $\alpha$.

Pokiaľ $A,B,O,W$ v tomto poradí tvoria štvoruholník: V štvoruholníku $ABOW$ máme tým pádom pri tomto vrchole uhol $180^\circ-\alpha$. My sme si však uhol pri $B$ v tomto štvoruholníku definovali ako $\alpha$. Protiľahlé uhly v $ABOW$ teda dávajú dokopy $180^\circ$, z čoho plynie, že tento štvoruholník je tetivový, a teda $W=Q$.

Inak: Obvodový uhol nad $AO$ sme definovali ako $\alpha$, čiže z $\sphericalangle ABO=\sphericalangle AWO=\alpha$ plynie, že $A,B,O,W$ stále tvoria tetivový štvoruholník (z vety o obvodovom uhle).

Analogicky tento dôkaz dokončíme aj pre $P$.

Poznámka: Všimnime si, že naše úvahy fungujú aj pokiaľ by jeden z uhlov $\alpha,\,\beta,\,\gamma$ bol záporný, čo by zodpovedalo situácii, kedy je $ABC$ tupouhlý, a teda $O$ neleží v jeho vnútri. V tom prípade sa dokonca môže stať, že v trojuholníku $SCW$ nebudeme brať uhol pri $C$ ako $\beta+\gamma$, ale $180^\circ-\beta-\gamma$. V takom prípade však $180^\circ=2\beta+2\gamma-2|\alpha|$, čiže pri $C$ máme $90^\circ-|\alpha|$, z čoho rovnako dostaneme $\alpha$ pri $W$ ako pôvodne.