Vzorové riešenie tejto úlohy si môžeš pozrieť aj ako video na našom YouTube kanáli https://www.youtube.com/KorMatSem.

Ako prvé si môžeme všimnúť, že $p^2 - 1$ je rozdiel štvorcov, a teda si to vieme upraviť na $(p - 1) \cdot (p + 1)$. Teda nám stačí ukázať, že $24 \mid (p - 1) \cdot (p + 1)$. Vieme, že číslo je deliteľné $24$ práve vtedy, ak je deliteľné $3$ a $8$, keďže $3 \cdot 8 = 24$ a zároveň $3$ a $8$ sú nesúdeliteľné.

Môžeme si všimnúť, že $p - 1$ , $p$ , $p + 1$ sú tri po sebe idúce čísla, a teda práve jedno z nich bude deliteľné $3$. Keďže $p$ je prvočíslo ($p\geq 5$), tak nemôže byť deliteľné $3$, teda buď $p - 1$ alebo $p + 1$ je deliteľné $3$. Takže sme ukázali, že $3 \mid (p - 1) \cdot (p + 1)$.

Zároveň si môžeme všimnúť, že $p - 1$ a $p + 1$ sú obidve párne čísla, keďže všetky prvočísla ($p\geq 5$) sú nepárne. Tu sa môžeme zamyslieť a skúsiť si k pôvodnej trojici čísiel pripísať ďalšie v rade, teda dostaneme $p - 1$, $p$, $p + 1$, $p + 2$. Teraz máme $4$ po sebe idúce čísla, z ktorých práve jedno je deliteľné 4. Vieme, že $p$ a $p + 2$ sú nepárne, teda buď $p - 1$ alebo $p + 1$ je deliteľné $4$ a druhé z nich je deliteľné $2$. Takže sme ukázali, že $8 \mid (p - 1) \cdot (p + 1)$.

Z čoho, podľa našej prvej úvahy, vyplýva, že $24 \mid (p - 1) \cdot (p + 1)$, a teda $24 \mid p^2 - 1$.