Môžeme si všimnúť, že nakoľko každé prirodzené číslo $n$ (okrem $1$) má aspoň jedného deliteľa menšieho ako $n$, nahradením $n$ na okne za jeho delitele počet čísel na okne nikdy nezmenšíme. Zmazaním $1$ na okne by sme o jedno číslo prišli, preto sa to pri hľadaní maximálneho počtu neoplatí. Taktiež si môžeme premyslieť, že nám nezáleží na poradí, v ktorom čísla na okne mažeme. Keďže na okne sa čísla môžu opakovať, mazanie a dopisovanie deliteľov dvoch čísel sa nijak neovplyvňuje. Ako stratégiu pri hľadaní maximálneho počtu čísel na okne pre určité začiatočné $n$ si môžeme teda určiť to, že pokiaľ číslo na okne nie je $1$, zmažeme ho a napíšeme na okno jeho delitele. Tento krok budeme opakovať, až pokým na okne nezostanú iba jednotky.

Označme $f(n)$ maximálny počet čísel na okne, ktorý môžeme dostať, ak začíname s číslom $n$. Zo stratégie, ktorú sme vytvorili, si môžeme odvodiť rekurzívny vzorec $$f(n) = \sum_{d\in D} f(d), \qquad (1)$$ kde $D$ je množina deliteľov čísla $n$, ktoré sú menšie ako $n$. Naším cieľom je nájsť všetky čísla, pre ktoré platí $f(n) \geq n$.

Ak je na okne číslo $1$, hneď na začiatku máme na okne $1^2$ čísel. Zmazaním jednotky by sme na okne nedostali žiadne číslo, a zároveň by sme nemohli spraviť žiadny ďalší krok. Je teda zjavné, že $f(1)=1$. Dostávame, že pre $n=1$ platí $f(n) \geq n$.

Poďme dokázať, že žiadne iné také $n$ neexistuje, resp. že $f(n) < n^2$ pre všetky $n > 1$. Využijeme na to silnú matematickú indukciu ¹. Ako základ použijeme, že ak je na okne prvočíslo $p$, vieme ho nahradiť iba číslom $1$, pre ktoré už vieme, že $f(1)=1$. Z toho si vieme odvodiť aj hodnotu pre $f(p) = 1 \leq p^2$. Indukčným predpokladom bude, že $f(k) \leq k^2$ platí pre všetky čísla $k$ také, že $1 < k < n$. Chceme dokázať, že $f(n) < n^2$.

Na okne majme zložené číslo $n$. Aby sme sa niekam pohli, musíme nahradiť práve toto číslo jeho deliteľmi (okrem $n$). Označme množinu deliteľov čísla $n$ ako $D := {d_1, d_2, \dots, d_i}$. Keďže $n$ je zložené, vieme povedať, že má aspoň $3$ delitele, teda $i \geq 3$. Všetky tieto delitele však vieme zapísať aj ako $$d_j = \frac{n}{d_{i-j+1}},\qquad 1 \leq j \leq i.$$ Množina $D$ sa týmto zápisom nezmení, a teda $$D = \bigg{\frac{n}{d_1}, \frac{n}{d_2}, \dots, \frac{n}{d_i}\bigg}.$$ Pre nás sú však zaujímavé len delitele menšie ako $n$. Bez ujmy na všeobecnosti môžeme povedať, že $d_i = 1$. Množinu deliteľov menších ako $n$ si označme $D’$: $$D’ = \bigg{\frac{n}{d_1}, \frac{n}{d_2}, \dots, \frac{n}{d_{i-1}}\bigg}.$$ Pre deliteľ $1$ vieme povedať, že $f(1) = 1$. Voľba $d_i = 1$ nám určuje $d_1 = n$, teda $n/d_1 = 1$ a $f(n/d_1) = 1$. Keďže všetky ostatné delitele sú väčšie ako $1$ a menšie ako $n$, z indukčného predpokladu pre ne platí $$f\:\left(\frac{n}{d_j}\right) < \frac{n^2}{d_j^2},\qquad 2 \leq j \leq i-1.$$ Sčítaním týchto nerovností pre všetky $j$ dostávame $$\sum_{j=2}^{i-1} f\:\left(\frac{n}{d_j}\right) < \sum_{j=2}^{i-1} \frac{n^2}{d_j^2}.$$ Treba podotknúť, že keďže $i \geq 3$, bude mať táto suma vždy aspoň jeden člen. Použitím rekurzívneho vzorca $(1)$, hodnoty $f(n/d_1) = 1$ a predošlej sumy vieme vyjadriť horný odhad pre $f(n)$: $$f(n) = \sum_{j=1}^{i-1} f\:\left(\frac{n}{d_j}\right) = 1 + \sum_{j=2}^{i-1} f\:\left(\frac{n}{d_j}\right) < 1 + \sum_{j=2}^{i-1} \frac{n^2}{d_j^2} = 1 + n^2\sum_{j=2}^{i-1} \frac{1}{d_j^2} = n^2\left(\frac{1}{n^2} + \sum_{j=2}^{i-1} \frac{1}{d_j^2}\right). \qquad (2)$$ V tomto bode nám už stačí dokázať, že $$\frac{1}{n^2} + \sum_{j=2}^{i-1} \frac{1}{d_j^2} \leq 1. \qquad (3)$$ Je známe², že $$\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^2} = \frac{\pi^2}{6}.$$ Aby bola táto nekonečná suma pre nás užitočná, odčítajme od oboch strán $1$: $$\sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{m^2} = \frac{\pi^2}{6} - 1.$$ Keď si porovnáme túto sumu so sumou v našej nerovnosti $(3)$, môžeme si všimnúť, že ľavá strana nerovnosti pozostáva z konečne veľa členov tejto sumy (a žiadny člen sa neopakuje). Ďalej si môžeme všimnúť, že pri žiadnych z týchto členov nie je menovateľ v zlomku rovný $1$ (to vysvetľuje, prečo sme v predošlom kroku odčítali $1$). Vieme teda povedať, že $$\frac{1}{n^2} + \sum_{j=2}^{i-1} \frac{1}{d_j^2} < \sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{m^2} = \frac{\pi^2}{6} - 1 < 1,$$ čo je to, čo sme potrebovali dokázať. Dosadením tejto hodnoty naspäť do $(2)$ dostávame $f(n) < n^2$ pre $n > 1$, čím je dôkaz ukončený. Jediným číslom, pre ktoré vie Mišo po nejakom počte krokov dostať na okne aspoň $n^2$ (nie nutne rôznych) čísel, je $1$.