Ako by sme mohli dokázať, že obvod trojuholníka $SMN$ ($O_{SMN}$) je rovnaký ako dĺžka strany $AB$? Obe sa skladajú z troch úsečiek (trojuholník $SMN$ z úsečiek $SM, MN, NS$, strana $AB$ z úsečiek $AM, MN, NB$) a dokonca jednu z nich, úsečku $MN$, majú spoločnú. Môže nám napadnúť, čo keby platilo, že všetky tri úseky obvodu $SMN$ sú rovnako dlhé ako úseky strany $AB$, t. j. čo keby platilo $|AM|=|MS|$ a $|NS|=|NB|$? Toto nemusí byť pravda na to, aby $|AB|=O_{SMN}$, ale ak by to bola pravda a podarilo by sa nám to dokázať, tak dokážeme aj rovnosť $|AB|=O_{SMN}$. Tak poďme na to.

Stred vpísanej kružnice $S$ je priesečníkom osí uhlov trojuholníka $ABC$, takže $AS$ je os uhla $CAM$. To znamená $|\sphericalangle CAS|=|\sphericalangle SAM|$, označme tieto uhly $\alpha$. Keďže $CA$ a $SM$ sú rovnobežné, využitím striedavých uhlov dostávame, že $|\sphericalangle MSA|=|\sphericalangle SAC|=\alpha$. Vidíme, že uhly $MAS$ a $MSA$ majú rovnakú veľkosť $\alpha$, takže trojuholník $AMS$ je rovnoramenný. Preto jeho ramená majú rovnakú dĺžku, $|AM|=|MS|$.

Analogicky sa dokáže, že trojuholník $SNB$ je rovnoramenný, teda $|SN|=|NB|$. Dokázali sme, že obvod trojuholníka $SMN$ a úsečka $AB$ sa skladajú z troch rovnakých úsekov $$O_{SMN}=|SM|+|MN|+|NS|=|AM|+|MN|+|NB|=|AB|,$$ a teda majú rovnakú dĺžku.

Poznámky

1. Viacerí z vás vo svojom riešení rozpisovali aj dôkaz rovnoramennosti trojuholníka $SNB$, napriek tomu, že je to v podstate presne to isté ako dôkaz rovnoramennosti $AMS$. Samozrejme to nie je chyba, ale prečo si neušetriť robotu, keď sa dá. Dôvod prečo toto netreba rozpisovať je, že trojuholníky $AMS$ a $SNB$ sú symetricky definované vzhľadom na výmenu bodov $A, B$. To znamená, že keby sme označili body $A, B$ naopak, tak trojuholníky $AMS$ a $SNB$ sa vymenia, takže ak je jeden rovnoramenný, tak zo symetrie musí byť aj druhý rovnoramenný.

2. Na dôkaz rovnoramennosti trojuholníka $ASM$ sme potrebovali vyjadriť uhol $ASM$. Iný spôsob ako vyjadriť tento uhol je, že uhly $CAM$ a $SMN$ sú súhlasné, takže $|\sphericalangle SMN|=2\alpha$, $|\sphericalangle SMA|=180^\circ-2\alpha$ a uhol $ASM$ dopočítame z trojuholníka $ASM$, kde súčet vnútorných uhlov musí byť $180^\circ$.