Označme: $L := k m \check{s}$, $P := 3(k + m + \check{s})$.

Prvým zjavným pseudoriešením úlohy je $k = m = \check{s} = 3$. Čo je to však pseudoriešenie? Jednoducho ide o jedno správne riešenie našej úlohy, pričom nejaké ďalšie správne riešenia vieme dostať tak, že preusporiadame hodnoty nášho pseudoriešenia. Nejde však o nejak štandardizovaný pojem.

Poďme sporom dokázať, že nesmie súčasne platiť $k > 2 \land m > 2 \land \check{s} > 2$, okrem prípadu kedy $k = m = \check{s} = 3$. Predpokladajme, že by mohlo platiť $k > 2 \land m > 2 \land \check{s} > 2$. Dokážeme, že potom $L \neq P$ okrem prípadu, kedy $k = m = \check{s} = 3$. Označme $M :=\footnote{Ak náhodou tento operátor nepoznáte, ide o operátor, ktorý si matematika požičala od svojej dcéry, informatiky. Znamená asi toľko, že symbol na strane pri dvojbodke \textit{je definovaný ako} výraz na druhej strane operátora. Teda v našom prípade značí $M$ je definovavé ako $\text{max}{k,\, m,\, \check{s} }$. Ak by vás zaujímal rozdiel medzi $:=$ a $=$, môžete sa o tom čo-to dočítať na \href{https://math.stackexchange.com/questions/25214/what-does-mean}{tejto stránke}.} \text{max}{k,\, m,\, \check{s} }$. Potom $L \geq 3 \cdot 3 \cdot M = 9M$ a súčasne $P \leq 3(M + M + M) = 9M$. Rovnosť v oboch prípadoch nastáva jedine ak $a = b = c = 3$. Preto nesmie platiť, že $k > 2 \land m > 2 \land \check{s} > 2$, okrem prípadu kedy $k = m = \check{s} = 3$.

Nech BÚNV $k \leq m \leq \check{s}$. Z predošlého zistenia dostávame, že $k = 1 \lor k = 2$. Rozoberme teraz oba prípady.

1. $k = 1$. Analogickým spôsobom vieme dokázať, že nesmie naraz platiť $m > 6 \land \check{s} > 6$. Preto $m \leq 6$. Rozoberme teraz všetky možnosti.

• $m = 1$. Riešením rovnice s jednou neznámou dostávame, že $\check{s} = -3$, pričom $-3 \notin \mathbb{Z}^+$, preto v tomto prípade nedostávame žiadne nové riešenie úlohy.

• $m = 2$. Dostávame $\check{s} = -9$, čo opäť nebude riešením úlohy.

• $m = 3$. Riešením lineárnej rovnice dospejeme k nepravdivému výroku $0 = 12$, čo opäť zrejme nebude riešením úlohy.

• $m = 4$. Dostávame druhé pseudoriešenie úlohy $k = 1$, $m = 4$, $\check{s} = 15$.

• $m = 5$. Dostávame tretie pseudoriešenie úlohy $k = 1$, $m = 5$, $\check{s} = 9$.

• $m = 6$. Dostávame štvrté pseudoriešenie úlohy $k = 1$, $m = 6$, $\check{s} = 7$.

2. $k = 2$. Analogickým spôsobom ako na začiatku riešenia vieme dokázať, že nesmie naraz platiť $m > 3 \land \check{s} > 3$. Preto $2 \leq m \leq 3$. Rozoberme teraz všetky možnosti.

• $m = 2$. Dostávame piate pseudoriešenie úlohy $k = 2$, $m = 2$, $\check{s} = 12$.

• $m = 3$. Dostávame šieste pseudoriešenie úlohy $k = 2$, $m = 3$, $\check{s} = 5$.

Riešením úlohy sú potom všetky možné rôzne permutácie hodnôt postupne z každého pseudoriešenia úlohy. Presnejšie, nech $P_1 = {(3,3,3)}$, $P_2 = { (1,\, 4,\, 15),\, (1,\, 15,\, 4),\, (4,\, 1,\, 15),\, (4,\, 15,\, 1),\, (15,\, 1,\, 4),\, (15,\, 4,\, 1)}$, $P_3 = {(1,\, 5,\, 9),\, (1,\, 9,\, 5),\, (5,\, 1,\, 9),\, (5,\, 9,\, 1),\, (9,\, 1,\, 5),\, (9,\, 5,\, 1)}$, $P_4 = { (1,\, 6,\, 7),\, (1,\, 7,\, 6),\, (6,\, 1,\, 7),\, (6,\, 7,\, 1),\, (7,\, 1,\, 6),\, (7,\, 6,\, 1) }$, $P_5 = { (2,\, 2,\, 12),\, (2,\, 12,\, 2),\, (12,\, 2,\, 2) }$, $P_6 = { (2,\, 3,\, 5),\, (2,\, 5,\, 3),\, (3,\, 2,\, 5),\, (3,\, 5,\, 2),\, (5,\, 2,\, 3),\, (5,\, 3,\, 2) }$.

Potom množinou riešení úlohy je množina $A = P_1 \cup P_2 \cup P_3 \cup P_4 \cup P_5$.