Vzorové riešenie tejto úlohy si môžeš pozrieť aj ako video na našom YouTube kanáli https://www.youtube.com/KorMatSem.

Keď máme v úlohe zadaný nejaký výraz, tak sa oplatí skúsiť ho nejako zjednodušiť. Jednou z typických úprav výrazov je odstránenie odmocnín z menovateľa. Keď máme v menovateli výraz $\sqrt{a} + \sqrt{b}$, tak rozšírením zlomku hodnotou $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ dostaneme $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$. Využili sme pritom vzorec $A^2 - B^2 = (A + B) \cdot (A - B)$.

Výraz zo sumy preto môžeme rozšíriť (zjavne nenulovou) hodnotou $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$: $$\frac{1}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt[4]{n}+\sqrt[4]{n+1}\right)} \cdot \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1-n)\left(\sqrt[4]{n}+\sqrt[4]{n+1}\right)} = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt[4]{n}+\sqrt[4]{n+1}\right)}.$$

Dostaneme výraz, v ktorého čitateli znova môžeme použiť vzorec $A^2-B^2 = (A+B)(A-B)$:

$$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt[4]{n}+\sqrt[4]{n+1}\right)} = \frac{\left(\sqrt[4]{n+1}\right)^2-\left(\sqrt[4]{n}\right)^2}{\left(\sqrt[4]{n}+\sqrt[4]{n+1}\right)} = \frac{\left(\sqrt[4]{n+1}+\sqrt[4]{n}\right)\left(\sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n}\right)}{\left(\sqrt[4]{n}+\sqrt[4]{n+1}\right)}= \sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n}.$$

Dostali sme zjednodušený výraz, ktorý už lepšie upraviť nevieme. Dosaďme tento výraz naspäť do rovnosti zo zadania:

$$\sum^{\textrm{V}}_{n=1}\left(\sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n}\right)=9.$$

Vieme, že ak v sume $\sum^{\textrm{9999}}{n=1}\sqrt[4]{n}$ bude $n$ nadobúdať hodnoty $1$ až $9999$, tak v sume $\sum^{\textrm{9999}}$ bude $n + 1$ nadobúdať hodnoty $2$ až $10000$. Po dosadení čísel by rovnosť vyzerala takto:}\sqrt[4]{n+1

$$\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{1}+\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{4}-\sqrt[4]{3}+…+\sqrt[4]{9999}-\sqrt[4]{9998}+\sqrt[4]{10000}-\sqrt[4]{9999}=9.$$

Môžeme si všimnúť, že väčšina odmocnín sa najskôr pričíta a v ďalšom kroku sa odčíta.¹ Keď sa takto všetky navzájom odčítajú, zostane nám:

$$-\sqrt[4]{1}+\sqrt[4]{10000}=9.$$

Odmocnením dostávame $-1 + 10 = 9$, a teda $9 = 9$. Dokázali sme, že platí rovnosť zo zadania.