8. Kešom Mišo Šibrinkuje
Zadanie
Keď už šervírka ščítala všetky položky dokopy, Mišom nezoštalo nič iné, ako zaplatiť všetci špolu. Ktorý Mišo však bude platiť?
Predša lichobežník $MI\check{S}O$, v ktorom $MI \parallel \check{S}O$ a $|\sphericalangle \check{S}IM| < |\sphericalangle IMO| < 90^\circ$. Nech $R$ je priešečník jeho uhlopriečok $M\check{S}$ a $IO$ a $A$ je priešečník kružnice opíšanej trojuholníku $RIM$ šo štranou $I\check{S}$. Priamka $OA$ pretína priamku $MI$ v bode $L$ a priamka $MA$ pretína priamku $O\check{S}$ v bode $N$. Dokážte, že $NR$ je dotyčnicou kružnice opíšanej trojuholníku $RIM$ práve vtedy, keď je $MR$ dotyčnicou kružnice opíšanej trojuholníku $MAL$.
Vzorové riešenie tejto úlohy si môžeš pozrieť aj ako video na našom YouTube kanáli https://www.youtube.com/KorMatSem.
V zadaní ste si mohli všimnúť netradičnú požiadavku – dokázať, že niečo platí práve vtedy, keď platí niečo iné. Ide o výrok, ktorému sa hovorí ekvivalencia, to znamená že z prvej znalosti vyplýva druhá a z druhej prvá. Ekvivalenciu zo zadania dokážeme dokázaním implikácie oboma smermi, alebo po slovensky, v skutočnosti musíme riešiť dve úlohy – jednu, v ktorej máme zadané, že $MR$ je dotyčnicou kružnice nad trojuholníkom $MAL$ a potrebujeme dokázať dotykovosť $NR$ ku kružnici nad $MRAI$ – a druhú, v ktorej máme zadané že $NR$ je dotyčnicou kružnice nad $MRAI$ a potrebujeme dokázať dotykovosť $MR$ ku kružnici nad $MAL$. Až keď budeme mať dokázané obe úlohy, budeme vedieť povedať, že musia platiť naraz.
Pri úlohe nám opäť budú stačiť len znalosti o tetivových štvoruholníkoch a úsekovom uhle.
Začnime časťou pre obe úlohy rovnakou – štvoruholníkom $ORAN$. Z rovnobežiek $ON$ a $ML$ a striedavosti uhlov vieme, že $|\sphericalangle IMA|=|\sphericalangle ANO|$. Z vety o obvodových uhloch v už známom tetivovom štvoruholníku $MRAI$ vieme, že $|\sphericalangle IMA|=|\sphericalangle IRA|$ ($=|\sphericalangle ANO|$ ). Uhol $ORA$ dopočítame ako $180^\circ-|\sphericalangle IRA|= 180^\circ-|\sphericalangle ANO|$. Teraz sa pozrime na súčet protiľahlých vnútorných uhlov v $ORAN$ovi, teda $|\sphericalangle ANO|+|\sphericalangle ORA|=|\sphericalangle ANO|+180^\circ-|\sphericalangle ANO|=180^\circ$, teda $ORAN$ je tetivový.
Poďme sa najskôr pozrieť na prvý prípad – chceme dokázať, že $NR$ je dotyčnicou kružnici nad $MRAI$. Vieme, že $MR$ je dotyčnicou ku kružnici nad $MAL$, uhol $RMA$ teda bude úsekovým k obvodovému $MLA$, čiže $|\sphericalangle RMA|=|\sphericalangle MLA|=\alpha$. Z rovnobežnosti $ON$ a $ML$ vidíme, že uhly $MLA$ a $AON$ sú striedavé, čiže $|\sphericalangle MLA|=|\sphericalangle AON|=\alpha$. Už vieme, že $ORAN$ je tetivový, teda uhol $NRA$ je obvodový uhol k uhlu $AON$, čiže $|\sphericalangle AON|=|\sphericalangle NRA|=\alpha$. Keďže $|\sphericalangle RMA|=\alpha$ je obvodovým uhlom nad tetivou $RA$ v štvoruholníku $MRAI$, a keďže $|\sphericalangle RMA|=|\sphericalangle NRA| = \alpha$, uhol $NRA$ je úsekovým uhlom k tomuto obvodovému, a teda $NR$ je dotyčnicou kružnice nad $MRAI$.
Poďme na to teraz druhou stranou, vieme že $NR$ je dotyčnicou kružnice nad $MRAI$ a chceme dokázať, že $MR$ je dotyčnicou kružnici nad $MAL$. Obdobne, využijeme striedavosť uhlov $AON$ a $MLA$, $|\sphericalangle AON|=|\sphericalangle MLA|=\beta$. V tetivovom štvoruholníku $ORAN$ je uhol $NRA$ obvodový k uhlu $AON$, $|\sphericalangle NRA|=|\sphericalangle AON|=\beta$. Keďže $NR$ je dotyčnicou ku kružnici nad $MRAI$, uhol $NRA$ je úsekový k tetive $RA$, teda obvodový $|\sphericalangle RMA|=|\sphericalangle NRA|=\beta$. Keďže $|\sphericalangle MLA|=|\sphericalangle RMA|=\beta$, uhol $RMA$ musí byť úsekový, teda $MR$ je dotyčnicou kružnice nad $MAL$.
Oboma dôkazmi sme teda dokázali ekvivalenciu zo zadania.
