Opravovatelia

Michal Staník [email protected]

$$x^2 - y^3 = 999.$$

Máme pred sebou rovnicu v celých číslach, môžeme teda začať tým, že sa na ňu pozrieme modulo nejaké malé číslo a budeme skúmať zvyšky po delení, ktoré dávajú jednotlivé strany.

Ak by $y$ bolo párne, bolo by $y^3$ deliteľné $8$ a mali by sme $x^2 \equiv 999 \equiv 7 \pmod 8$, čo ale nastať nemôže, pretože druhé mocniny majú zvyšky modulo $8$ iba $0$, $1$ a $4$. Môžete sa presvedčiť tak, že si umocníte jednotlivé zvyšky od $0$ do $7$ na druhú. V skutočnosti stačí overovať len po $4$, pretože napríklad $6^2 \equiv (-2)^2 \equiv 2^2 \pmod 8$.

Preto je $y$ nepárne, čiže $y = 2k + 1$ pre nejaké celé číslo $k$.

Rovnicu upravíme do tvaru $$\begin{align} x^2 + 1 &= y^3 + 1000 = (y + 10)(y^2 - 10y + 100) =\ &= (2k + 11)(4k^2 + 4k + 1 - 20k - 10 + 100)=(2k + 11)(4k^2 - 16k + 91).\end{align}$$ Druhá zátvorka má zvyšok $91 \equiv 3 \pmod 4$, preto musí byť deliteľná nejakým prvočíslom $p$ tvaru $4l + 3$. Dvojkou byť deliteľná nemôže a keby bola deliteľná len prvočíslami tvaru $4l + 1$, mala by zvyšok $1$ modulo $4$ (všetky jednotky by sa vynásobili na jednotku modulo $4$).

Ešte by sa to dalo obísť tak, že by bola záporná (napr. $-5$ alebo $-1$ majú zvyšok $3$ po delení $4$ a nie sú deliteľné žiadnym prvočíslom tvaru $4l+3$). Avšak to sa nám stať nemôže, pretože $(4k^2 - 16k + 91) = (2k - 4)^2 + 75$, čo je vždy kladné.

Potom $p$ delí pravú stranu rovnice, takže delí aj ľavú, čiže $x^2 + 1 \equiv 0 \pmod p$. To je ale spor, pretože $-1$ nikdy nie je kvadratický zvyšok (zvyšok $x^2$ pre nejaké $x$) modulo prvočíslo tvaru $4l+3$. Rovnica preto nemá žiadne celočíselné riešenie.

To, že $-1$ nie je kvadratický zvyšok modulo žiadne prvočíslo tvaru $4l+3$, je známe tvrdenie, ale tých, čo ho nepoznáte, to asi neuspokojí. Poďme si to teda poriadne zdôvodniť. Každé číslo $x$ nesúdeliteľné s modulom má svoj tzv. rád, čo je najmenšia kladná mocnina, na ktorú ho musíme umocniť, aby sme dostali $1$, teda $x^r \equiv 1 \pmod p$, kde $r$ je rád $x$ modulo $p$. Zvyšky mocnín $x$ sa potom opakujú s periódou rovnou jeho rádu.

Predpokladajme, že platí $x^2\equiv -1 \pmod p$. Aký môže byť rád $r$ čísla $x$? Z nášho predpokladu vieme, že $x^4 = (x^2)^2 \equiv (-1)^2 = 1 \pmod p$. Teda rád musí byť $1$, $2$ alebo $4$ (rozmyslite si, prečo nemôže byť $3$). Z Malej Fermatovej vety vieme, že $x^{p-1} = x^{4l+2} \equiv 1 \pmod p$. Z toho plynie, že rád musí deliť $4l+2$ (pretože je to najmenšia perióda a $4l+2$ je nejaký neznámy počet celých periód), a teda $r \not= 4$.

Ak $r=1$, tak máme $x \equiv 1 \pmod p$. Ak $r=2$, tak máme $x^2 \equiv 1 \pmod p$. V oboch prípadoch platí $-1 \equiv x^2 \equiv 1 \pmod p$, z čoho nutne musí byť $p=2$, ale to nie je tvaru $4l+3$. Tým sme ukázali, že $-1$ nemôže byť kvadratický zvyšok pre žiadne prvočíslo tvaru $4l+3$ a náš dôkaz je hotový.