Opravovatelia

BaškaJ [email protected]

Začnime tým, že sa pozrieme na to, ako sa zmení ciferný súčet, keď k číslu pripočítame $1$. Najjednoduchší prípad nastane, keď číslo končilo niektorou z cifier od $0$ po $8$. Táto cifra sa zvýši o jedna a ostatné cifry zostanú nezmenené. Nový ciferný súčet teda bude o $1$ väčší.

Predstavme si, že na konci čísla je cifra $9$. Pripočítaním jednotky sa posledná cifra zmení na $0$ a k predošlej cifre budeme musieť pripočítať $1$ – „prechod cez desiatku“. Ak však pred našou deviatkou bola ďalšia deviatka, proces sa zopakuje. Aj predposledná cifra sa zmení na $0$ a k cifre pred ňou sa opäť pripočíta $1$. Takto to pôjde ďalej až nenarazíme na cifru rôznu od $9$, alebo sa nám neminú cifry. V druhom prípade jednoducho pred číslo dopíšeme jednotku.

Označme $m$ počet deviatok na konci hľadaného čísla $N$. Určite platí $0 \leq m \leq 1112$. Ako sme si všimli vyššie, číslo $N + 1$ dostaneme tak, že každú z $m$ deviatok na konci nahradíme $0$ a cifru pred deviatkami zvýšime o $1$. (Alebo pridáme $1$ na začiatok ak $m = 1112$.) Ciferný súčet sa zníži o $9 \cdot m$ za zmenené deviatky a zvýši o $1$ za zmenu (resp. pridanie) cifry pred deviatkami.

Vráťme sa k podmienkam zo zadania. Označme $c$ ciferný súčet čísla $N$. Ciferný súčet čísla $N+1$ bude, podľa postupu vyššie, rovný $c + 1 - 9m$. Podľa zadania majú byť obe tieto hodnoty násobkami $2000$. Potom ale aj rozdiel týchto dvoch hodnôt, t. j. $9m - 1$, musí byť násobkom $2000$. To nám samo o sebe nič nezaručí, ale obmedzí nám to možné hodnoty $m$. Keďže $m \leq 1112$, nutne $9m - 1 \leq 10~007$. Správny násobok $2000$ je teda jeden z $0,\, 2000,\, 4000,\, 8000,\, 10~000$. Vieme tiež, že $9m$ je násobok $9$, čo platí len pre hodnotu $8001$, takže vyhovujúci násobok je $8000$ a jediné vyhovujúce $m$ bude $889$.

Prišli sme na to, že $N$ má na konci $889$ deviatok (a že pred nimi je iná cifra ako $9$). Vieme tiež, že $N+1$ má ciferný súčet o $8000$ menší. Keďže $N+1$ má mať ciferný súčet, ktorý je násobkom $2000$, musí to byť najmenej $2000$. Ciferný súčet $N$ bude teda aspoň $10~000$. Aký najväčší ciferný súčet môže číslo $N$ mať? Najviac to bude $10~008 = 1112 \cdot 9$, čo je prípad, kedy každá cifra $N$ je deviatka. Jediný vyhovujúci ciferný súčet pre $N$ je teda práve spomínaných $10~000$.

Ako teda môže číslo $N$ vyzerať? Na konci má $889$ deviatok, pred ktorými je cifra menšia ako $9$. Ak by to bola cifra $8$ a všetky ostatné cifry by boli $9$ ciferný súčet by bol $10~007$, nie $10~000$. Cifry takéhoto čísla nemôžeme zvyšovať, len znižovať. Tiež musíme pamätať na poslednú podmienku zo zadania – číslo $N$ obsahuje cifru $1$. Ak by sme niektorú z deviatok v našom čísle nahradili $1$ dostali by sme číslo s ciferným súčtom menším ako $10~000$. Jediná cifra, ktorú vieme nahradiť jednotkou, je teda jediná rôzna od $9$, a to je $8$ na $890.$ mieste sprava.

Takže jediné možné $N$ začína $1112 - 889 - 1 = 222$ deviatkami, potom nasleduje $1$ jednotka a nakoniec $889$ deviatok. Mali by sme ešte overiť, že toto číslo skutočne spĺňa všetky tri podmienky zo zadania. Jeho ciferný súčet je $1111 \cdot 9 + 1 = 10~000$. $N+1$ má ciferný súčet $222 \cdot 9 + 2 = 2000$. Jednotku naše $N$ má, takže je skutočne riešením.