Opravovatelia

David [email protected]

Ako prvé si všimnime, že každá neznáma je rovná nejakej odmocnine. To znamená, že $x,y,z\geq0$. Najprv intuitívne vyskúšajme $x=y=z$. Potom napríklad $x=\sqrt{2x+3}$, po umocnení dostaneme $x^2=2x+3$. Riešením tejto rovnice je $x=3$ a $x=-1$. Druhý z koreňov pre nezápornosť riešenia môžeme vylúčiť a dostaneme riešenie $(x,y,z)=(3,3,3)$, ktoré po spravení skúšky správnosti aj skutočne sedí. Teraz, keď vieme, že $x$ môže byť 3, sa pozrime na situácie, kedy tomu tak nie je.

$x<3$: Skúsme si nejako porovnať vzťah $x$ a $z$. Ak $x<3$, tak $2x+3<9$. Tým pádom je ale $z=\sqrt{2x+3}<\sqrt{9}=3$. Skúsime dokázať, že $x<z$: Na to treba, aby platilo, $x<\sqrt{2x+3}$. Roznásobením a úpravou dostaneme $x^2<2x+3$, teda dostaneme výraz $(x-3)(x+1)<0$. Prvá zátvorka bude vždy záporná a druhá vždy kladná, teda ich súčin bude vždy záporný, čím sme práve ukázali platnosť $x<z$. Obdobným spôsobom (keďže už vieme, že $z<3$) zistíme, že $y<3$ a $z<\sqrt{2z+3}=y$. Z toho potom môžeme rovnakou úvahou dostať $y<\sqrt{2y+3}=x$. Potom ale $x<z<y<x$, čo je spor.

$x>3$: Ak $x>3$, tak $2x+3>9$. Tým pádom je ale $z=\sqrt{2x+3}>\sqrt{9}=3$. Pozrime sa teraz na výraz $(x-3)(x+1)$. Prvá zátvorka bude vždy kladná a druhá vždy kladná, teda ich súčin bude vždy kladný. Asi už začíname tušiť, že sa nám bude opakovať postup z prvého prípadu, len sa budú meniť smer nerovnosti. Skúste si teda tento postup zopakovať sami.

Tým sme došli k tomu, že $x$ nemôže byť menšie a ani väčšie ako 3. Teda ak má táto sústava riešenie, tak musí $x=3$. Doriešením v tomto prípade dostaneme riešenie $(x,y,z)=(3,3,3)$, skúšku správnosti pre toto riešenie sme spravili vyššie.