Opravovatelia

Viki [email protected]

V prvom rade nás asi bude zaujímať, kde sa bude nachádzať bod $E$. Skúsenejší z nás v bode $E$ hneď spoznajú Švrčkov bod trojuholníkov $ABD$ a $ACD$. Pre bežných smrteľníkov: je známe, že v trojuholníku sa os strany a os uhla oproti nej pretnú na kružnici tomuto trojuholníku opísanej v bode, ktorý sa nazýva Švrčkov bod (danej strany, resp. daného vrcholu oproti strane).¹

V tomto prípade máme stranu $AD$ a nad ňou dva trojuholníky na rovnakej kružnici. Priesečník osi strany $AD$ a kružnice je teda Švrčkov bod tejto strany a budú ním prechádzať osi uhla oproti AD v akomkoľvek trojuholníku nad $AD$, a teda aj v $ABD$ aj v $ACD$.

Keď už vieme, že $E$ bude na kružnici, poďme vyťažiť niečo z faktu $|AB|=|BC|=|CD|$. O $ABC$ aj $BCD$ vieme, že sú rovnoramenné, teda majú rovnaké uhly pri základni: $\sphericalangle BAC = \sphericalangle BCA$ a $\sphericalangle CBD = \sphericalangle CDB$. A keďže $\sphericalangle BAC$ je obvodový ku $\sphericalangle BDC$ vieme, že všetky 4 tieto uhly sú zhodné, nazvime ich $\alpha$.

Teraz príde čas uvedomiť si, že úloha môže mať dve konfigurácie. Ak by totiž bola vzdialenosť $|AB|$ dosť veľká, môže sa stať, že bod $D$ bude medzi $A$ a $B$. Konkrétne, keď sú od seba vzdialené viac ako tretinu kružnice, $D$ už bude za $A$. Vtedy sa úsečky $AB$ a $CD$ budú pretínať, inak sa pretínať nebudú. Poďme sa najskôr pozrieť na tú, kde sa nepretínajú.

****

Ešte sme nevyužili rovnobežnosť $CD$ a $AE$. Všimnime si napríklad, že $\sphericalangle EAD=\sphericalangle ADC$, keďže sú striedavé. Prenesieme si po kružnici ešte $\sphericalangle BCA\ (=\alpha)$ do $\sphericalangle BDA$ a zistíme, že $\sphericalangle ADC = 2\alpha=\sphericalangle EAD$. Uhol $\sphericalangle EAD\ ( = 2\alpha)$ potom vieme po kružnici preniesť do $\sphericalangle EBD\ (=2\alpha)$. Vďaka tomu, že $BE$ je os uhla $ABD$ vieme, že $\sphericalangle ABE = \sphericalangle EBD\ (= 2\alpha)$.

Teraz sa už len pozrieme na trojuholník $ABC$, ktorého súčet vnútorných uhlov je $180^\circ$. Pri základni máme dva razy $\alpha$ a $\sphericalangle ABC=5\alpha$. $\sphericalangle ABC$ je teda $\frac{5}{7}\cdot 180^\circ = \frac{900^\circ}{7}$.

****

Teraz druhá konfigurácia. Tentokrát si v trojuholníkoch $ABC$ a $BCD$ pomenujeme $\alpha$ uhol oproti základni, teda $\sphericalangle BCD$ a $\sphericalangle ABC$, ktorého hodnotu máme nájsť. Z obvodových uhlov vieme, že $\sphericalangle ABC= \sphericalangle AEC\ (=\alpha)$. Následne opäť využijeme striedavé uhly: $\sphericalangle AEC=\sphericalangle ECD\ (=\alpha)$ a nakoniec zase raz obvodové uhly $\sphericalangle ECD = \sphericalangle DBE\ (=\alpha)$. Vďaka osi uhla $BE$ vieme, že $\sphericalangle DBE = \sphericalangle EBA\ (=\alpha)$. Keďže trojuholník $DBC$ je rovnoramenný, uhly pri jeho základni sú rovnaké, teda $\sphericalangle DBC=\sphericalangle BDC = 3 \alpha$.

A na záver, podobne ako v predošlej konfigurácií, sa pozrieme na trojuholník $BCD$, v ktorom máme až $7\alpha$, ktoré majú mať súčet $180^\circ$. $\sphericalangle ABC$ však má veľkosť len jedna $\alpha$, a teda $\sphericalangle ABC= \frac{180^\circ}{7}$.