Opravovatelia

Lucka [email protected]

Ukážeme si tri riešenia tejto úlohy.

Prvé riešenie

Zo zadania máme $b\ge 0$, takže $$a^2 = b(b+7)=b^2+7b \ge b^2.$$ Keďže $a,b$ sú nezáporné, môžeme obe strany odmocniť, čím dostaneme $a\ge b$. Zároveň $a,b$ sú celé, takže existuje nezáporné celé číslo $c$ také, že $a = b+c$. Dosadením do rovnice v zadaní dostaneme $$(b+c)^2=b(b+7),$$ z čoho po odčítaní $b^2$ z oboch strán máme $$2bc+c^2=7b,$$ a teda $$b(7-2c)= c^2.$$ Číslo $7-2c$ je nepárne, takže to nie je nula, a teda ním môžeme obe strany vydeliť. Dostaneme tak $$\begin{align} b = \frac{c^2}{7-2c}. \tag{1}\end{align}$$ Ak $c = 0$, tak máme $b= 0$, a potom aj $a=b+c=0$. Dosadením do zadania overíme, že $a= b= 0$ je jedným riešením. Ďalej môžeme predpokladať, že $c$ je kladné. Potom pravá strana v $(1)$ je nenulová a ľavá strana je nezáporná, takže v skutočnosti sú obe kladné. Keďže čitateľ na pravej strane je kladný, tak aj menovateľ musí byť, teda $7-2c>0$, z čoho po ekvivalentných úpravách dostaneme $c<\frac{7}{2}$.

Zostáva nám teda overiť len možnosti $c\in { 1,2,3}$. Pre tieto hodnoty $c$ je pravá strana rovná postupne $\frac{1}{5},\frac{4}{3}$ a $9$. Keďže ľavá strana je celočíselná, aj pravá musí byť, takže $c$ môže byť len $3$. Vtedy $b= 9$ a $a=b+c=9+3=12$. Pre tieto hodnoty platí $$a^2=12^2=144=9 \cdot 16 = b(b+7),$$ teda rovnica zo zadania je vtedy splnená.

Úloha tak má dve riešenia, a to $(a,b)=(0,0)$ a $(a,b)=(12,9)$.

Druhé riešenie

Pravú stranu upravíme doplením do štvorca a potom spravíme niekoľko ekvivalentných úprav: $$\begin{align} a^2=b^2+7b &= \left(b+\frac{7}{2}\right)^2-\frac{49}{4}, \nonumber \ 4a^2+49 &= (2b+7)^2, \nonumber\ 49 &= (2b+7)^2-4a^2, \nonumber\ 7 \cdot 7 &= (2b+7-2a)(2b+7+2a). \tag{2}\end{align}$$ Poznamenajme, že k tejto rovnici sa dá dostať aj tak, že sa na rovnicu v zadaní pozrieme ako na kvadratickú rovnicu v $b$, vyjadríme jej korene a upravíme.

Ľavá strana rovnice $(2)$ je kladná a druhá zátvorka na pravej strane je kladná (keďže $a,b$ sú nezáporné), takže aj $2b+7-2a$ je kladné. Navyše obe zátvorky na pravej strane sú celočíselné a $2b+7-2a\le 2b+7+2a$, a tak sú len dve možnosti – buď je prvá rovná $1$ a druhá $49$, alebo sa obe rovnajú $7$. V prvej možnosti sčítaním oboch zátvoriek dostaneme $4b+14 = 50$, z čoho $b=9$ a potom $a^2=9\cdot(9+7) = 144$ platí práve pre $a=12$. V druhej možnosti, teda keď sú obe zátvorky rovné $7$, ich odčítaním dostaneme $a=0$. Potom $0 = b(b+7)$ platí práve pre $b=0$, keďže pre nezáporné $b$ je $b+7$ kladné.

Rovnica zo zadania tak má práve dve riešenia, a to $(a,b)=(12,9)$ a $(a,b)=(0,0)$.

Tretie riešenie

Ak $b=0$, tak $a=b(b+7)=0\cdot 7 =0$. Ak $a = 0$, tak $b(b+7)=0$, a keďže $b+7>0$, tak nutne $b=0$. Teda ak je jedno z čísel $a,b$ rovné nule, tak obe sú. Dosadením do zadania overíme, že obe strany rovnice majú vtedy hodnotu nula, a teda $a=b=0$ je jedným riešením. Po zvyšok riešenia už môžeme predpokladať, že $a$ aj $b$ sú kladné. Potom $b(b+7)\ge 7$, a teda $a^2$ aj $b(b+7)$ majú prvočíselný rozklad.

Nech $d$ je najväčší spoločný deliteľ čísel $b$ a $b+7$ (keďže sú obe kladné, tak existuje). Potom $d$ delí aj ich rozdiel, teda $7$. No a keďže $7$ je prvočíslo, tak $d$ môže byť len $1$ alebo $7$.

Ak $d=1$, tak každé prvočíslo $p$, ktoré delí ľavú stranu rovnice v zadaní, delí aj pravú, a keďže čísla $b$ a $b+7$ sú nesúdeliteľné, tak $p$ delí práve jedno z nich. Keďže ľavá strana je štvorec, tak maximálna mocnina, v ktorej $p$ delí ľavú stranu, je párna. Keďže $p$ delí len jedno z čísel $b,b+7$, tak maximálna mocnina, v ktorej ho delí, je tiež párna. Toto platí pre všetky prvočísla deliace $a$ a zjavne hociaké prvočíslo, ktoré delí $b$ alebo $b+7$, delí pravú stranu, takže delí aj ľavú stranu rovnice v zadaní, a teda delí aj $a$. Máme tak, že každé prvočíslo, ktoré delí $b$, ho delí v párnej mocnine, takže $b$ je štvorec (všimnime si, že toto tvrdenie platí aj keď $b=1$). Podobne aj $b+7$ je štvorec. Existujú teda prirodzené čísla $k,l$ také, že $b = k^2$ a $b+7 = l^2$. Potom ich odčítaním dostaneme $l^2-k^2=7$, a teda $$(l-k)(l+k)=7.$$ Keďže $k,l$ sú prirodzené, platí $l+k\ge 2$, no jediný taký deliteľ čísla $7$ je $7$. Takže $l+k=7$, a potom $l-k=1$. Odčítaním druhej rovnice od prvej dostaneme $2k=6$, a teda $k=3$. Potom $b = k^2=9$. Rovnica v zadaní potom platí práve vtedy, keď $a^2=9\cdot (9+7)=144$, čo je pre nezáporné celé $a$ práve vtedy, keď $a=12$.

Ak $d = 7$, tak podobnou úvahou dostaneme $b = 7k^2, b+7 = 7l^2$ pre nejaké prirodzené $k,l$. Opäť odčítaním jednej rovnice od druhej dostaneme $$\begin{align} 7(l^2-k^2) &= 7, \ (l-k)(l+k) &= 1.\end{align}$$ No obe zátvorky na ľavej strane sú celé čísla a navyše $l+k\ge 2$, ale $2$ nedelí $1$, takže žiadne iné riešenie neexistuje.

Úloha tak má dve riešenia, a to $(a,b)=(0,0)$ a $(a,b)=(12,9)$.