Opravovatelia

Kubo P. [email protected]

Andy [email protected]

Základ je si čo najintuitívnejšie označiť obrázok a potom to už pôjde. Preto vrchol $A$ umiestnime hore a $B$ vpravo dole.

****

Dobre, $|\sphericalangle BDA| = 60^\circ$, vďaka tomu k nemu susedný uhol $\sphericalangle CDA$ má veľkosť $120^\circ$. Zo zadania vieme, že $|\sphericalangle DCA| = 45^\circ$, takže uhol $\sphericalangle CAD$ ľahko dorátame a dostávame $|\sphericalangle CAD| = 180^\circ - 120^\circ - 45^\circ = 15^\circ$.

Teraz nám môže napadnúť si nájsť bod $E$ tak, že $|\sphericalangle ACE| = 15^\circ$. Motivácia za tým je vyrobiť si rovnoramenný trojuholník $\triangle CEA$. Vďaka tomu $|AE|=|CE|$ a zároveň vieme dopočítať uhol $|\sphericalangle CEA| = 180^\circ - 15^\circ - 15^\circ = 150^\circ$. Zo susednosti s uhlom $|\sphericalangle CEA| = 150^\circ$, rovno máme, že $|\sphericalangle CED| = 30^\circ$. Podobne aj uhol $|\sphericalangle ECD| = |\sphericalangle DCA| - |\sphericalangle ACE| = 45^\circ - 15^\circ = 30^\circ$. $\triangle CDE$ je tiež rovnoramenný, čo v nás vzbudzuje dôveru, že dokresliť bod $E$ bol správny krok. Zároveň máme, že $|CD|=|DE|$.

V tomto momente je dobré si dokresliť bod $F$. Pôvodne som tak robil, aby som získal $|DF|=|BF|=|CD|$. Ale vďaka tomu, že aj dĺžka úsečky $DE$ je rovnaká tak získavame napríklad z Tálesovej vety, že $\triangle CEF$ je pravouhlý. Ešte o kúsok dôležitejšie je však pozorovanie, že $|\sphericalangle BDA| = 60^\circ$, a teda $\triangle EFD$ je rovnostranný. V tomto momente vidíme, že trojuholníky $\triangle CEF$ a $\triangle BED$ sú dokonca zhodné podľa vety sus, $|CF|=|DB|$, $|FE|=|DE|$ a $|\sphericalangle BDA| = 60^\circ = |\sphericalangle CFE|$. Teda už vieme, že všetky úsečky rovnakej farby majú rovnakú dĺžku.

Ďalej si spomenieme, že $|\sphericalangle ECD| = 30^\circ$ a zo zhodnosti trojuholníkov $\triangle CEF$ a $\triangle BED$ dostávame, že $|\sphericalangle DBE| = 30^\circ$ tiež. Posledná vec, čo nás čaká, je ukázať, že $|\sphericalangle BEA| = 90^\circ$. Už vieme, že $|\sphericalangle CEA| = 150^\circ$, $|\sphericalangle CED| = 30^\circ$ a $|\sphericalangle DEB| = 90^\circ$ (spomeňme si, že $\triangle CEF$ a $\triangle BED$ sú zhodné a $\triangle CEF$ je pravouhlý). Potom $|\sphericalangle BEA| = 360^\circ - 150^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. $\triangle BEA$ je rovnostranný s pravým uhlom pri vrchole $E$, takže $|\sphericalangle EBA| = 45^\circ$. Dokopy dostávame $|\sphericalangle CBA| = 75^\circ$. Podotknime, že tento odsek sa dal nahliadnuť aj cez obvodové a stredové uhly.