Opravovatelia

Skaloš [email protected]

K tejto úlohe sa dalo pristupovať rozličnými spôsobmi. Najpriamočiarejším bolo označiť si strany kosodĺžnika ako $x, y$ a vyjadriť si z toho všetky dĺžky v obrázku. Potom vieme z Pytagorovej vety pre malý aj veľký biely trojuholník dostať dve rovnice o dvoch neznámych, z čoho sa už dá cez riešenie kvadratickej rovnice pomerne ľahko dostať k hodnotám $x, y$ a z nich už nie je problém vypočítať obsah kosodĺžnika.

My si však ukážeme iný postup, ktorý je trochu trikovejší a elegantnejší. Hľadáme obsah sivého kosodĺžnika, označme si ho teda ako našu neznámu $S$. Ďalej si priesečník $AE$ a $BC$ označme ako $X$. Všimnime si, že $\triangle ABX$ a $\triangle CEX$ sú podobné. Vyplýva to z vety $uu$, pretože uhol pri $X$ zdieľajú ako vrcholový a $\sphericalangle ABX, \sphericalangle CEX$ sú oba pravé. Ich koeficient podobnosti je $|AB|/|CE|=|BX|/|EX|=3/7$. V úlohe však nechceme až tak pracovať s dĺžkami, keďže nás zaujíma obsah, preto by nás zaujímalo, aký je pomer $S_{\triangle ABX}/S_{\triangle CEX}$. Ten vieme určiť ako $$\begin{align} \frac{S_{\triangle ABX}}{S_{\triangle CEX}} = \frac{\frac12 |AB||BX|}{\frac12 |CE||EX|} = \left(\frac 37\right)^2=\frac{9}{49}.\end{align}$$

Vieme však obsahy trojuholníkov $ABX$ a $CEX$ vyjadriť s využitím $S$? Áno, pretože plocha, ktorá z niektorého z obdĺžnikov zostane, keď odrátame sivý kosoštvorec, je dvojnásobkom obsahu príslušného trojuholníka. To znamená, že $S_{\triangle ABX} = \frac12\left(3\cdot 11 - S\right)$ a $S_{\triangle CEX} = \frac12\left(7\cdot 9 - S\right)$. Keď toto dosadíme do vyššieuvedenej rovnice, dostaneme $$\begin{align} \frac{\frac12\left(3\cdot 11 - S\right)}{\frac12\left(7\cdot 9 - S\right)} &= \frac{9}{49},\ 49\cdot3\cdot11-49S &= 9\cdot7\cdot9 - 9S,\ 3\cdot 7\cdot(7\cdot11 - 3\cdot 9) &= 40S,\ S &= \frac{3\cdot 7\cdot 50}{40}=\frac{105}{4}.\end{align}$$ Dostali sme tak hľadaný obsah, ktorý je $26.25$ KiloMetrov Štvorcových.