Opravovatelia

Adri [email protected]

Filip [email protected]

$$\begin{align} px + y + z & = & 1,\ x + py + z & = & p,\ x + y + z & = & p^2.\end{align}$$

Najskôr si musíme uvedomiť, že súradnice $x, y, z$, ktoré chceme vypočítať, závisia od toho, akú hodnotu bude mať $p$, preto s ním musíme počítať ako s parametrom a teda na neho nahliadať ako na konštantu a nie ako premennú.

Máme teda 3 rovnice s 3 neznámymi ($x, y, z$). Ako prvé si vyjadrime premennú $z$ z tretej rovnice:

$$z = p^2 - x - y$$

Teraz dosadíme tento výsledok do prvej a druhej rovnice a upravíme ich: $$\begin{align} px + y + z & = & 1 \ px + y + p^2 - x - y & = & 1 \nonumber \ p^2 + px - x + y - y & = & 1 \nonumber \ p^2 + px - x & = & 1 \nonumber \ x + py + z & = & p \ x + py + p^2 - x - y & = & p \nonumber \ p^2 + py - y + x - x & = & p \nonumber \ p^2 + py - y & = & p \nonumber\end{align}$$ Teraz v oboch rovniciach prehoďme $p^2$ na druhú stranu, dostaneme: $$\begin{align} px - x & = & 1 - p^2\ py - y & = & p - p^2\end{align}$$ Teraz si môžeme všimnúť, že z ľavej strany môžeme v rovniciach vyňať neznámu pred zátvorku (z prvej rovnice $x$ a z druhej $y$): $$\begin{align} x\cdot(p - 1) & = & 1 - p^2\ y\cdot(p - 1) & = & p - p^2\end{align}$$ Následne môžeme obe strany prenásobiť $-1$ $$\begin{align} -x\cdot(p - 1) & = & p^2 - 1\ -y\cdot(p - 1) & = & p^2 - p\end{align}$$ Na pravej strane prvej rovnice vidíme rozdiel štvorcov, teda ten si vieme upraviť:

$$p^2 - 1 = (p - 1)\cdot(p + 1)$$

Na pravej strane druhej rovnice môžeme vyňať $p$ pred zátvorku a dostaneme tak:

$$p^2 - p = p\cdot(p - 1)$$

Dostávame teda rovnice: $$\begin{align} -x\cdot(p - 1) & = & (p - 1)\cdot(p + 1)\ -y\cdot(p - 1) & = & p\cdot(p - 1)\end{align}$$ Obe môžeme predeliť výrazom $(p - 1)$, nesmieme, ale na konci prešetriť prípad, kedy je $(p - 1)=0$. Po vydelení dostaneme: $$\begin{align} -x & = & (p + 1)\ -y & = & p\end{align}$$ Už len stačí vynásobiť $-1$: $$\begin{align} x & = & -p - 1\ y & = & -p\end{align}$$ Keď sme si dopočítali hodnoty premenných $x$ a $y$ vzhľadom na $p$, tak teraz už len treba dopočítať premennú $z$:

$$z = p^2 - x - y$$ $$z = p^2 - (-p - 1) - (-p)$$ $$z = p^2 + p + 1 + p$$ $$z = p^2 + 2p + 1$$ $$z = (p + 1)^2$$

Teraz sme dostali výsledné súradnice $[-p - 1, -p, (p + 1)^2]$, keď $p\neq1$. Čo ak sa ale $p=1$? Dosaďme do pôvodných 3 rovníc:

$$\begin{align} px + y + z & = & 1,\ x + y + z & = & 1,\nonumber \ x + py + z & = & p,\ x + y + z & = & 1,\nonumber \ x + y + z & = & p^2.\ x + y + z & = & 1,\nonumber\end{align}$$ Dostali sme 3-krát tú istú rovnicu $x + y + z = 1$. Táto rovnica má nekonečne veľa riešení, takže výsledok môžeme zapísať ako $[a, b, 1-a-b],$ kde $a,b$ sú reálne čísla.