7. Kreslenie Marťanského Stvorenia
Zadanie
Farebné kartičky splnili svoj účel a astronauti Matthews a Patricks mali čoskoro na lodi inteligentnú formu života. Tá musela byť mimoriadne inteligentná, lebo mala hneď $3$ ruky: pravú ($P$), ľavú ($L$) a spodnú ($S$), ktorá vyrastala namiesto pupka.
Tieto životné formy boli výrazne nevyvážené, lebo $|LS|<|PS|<|LP|$. Navyše trojuholník $PLS$ bol ostrouhlý. Matthews a Patricks fixkou na Marťanovi vyznačili na strane $LP$ body $U$ a $V$ tak, aby $SU$ bola výškou a $SV$ ťažnicou trojuholníka. Ďalej na priamkach $LS$ a $PS$ označili postupne body $X$ a $Y$ tak, že $|PX| = |XS|$ a $|LY| = |YS|$. Dokážte, že stred úsečky $XY$ je v rovnakej vzdialenosti od bodu $U$ ako od bodu $V$.
Opravovatelia
Juraj Rosinský [email protected]
****
Nazvime $Z$ stred úsečky $XY$, $A$ stred $PS$ a $B$ stred $LS$. Najskôr dokážme, že $Z$ leží na osi úsečky $AB$.
Poďla konštrukcie bodov $X$ a $Y$ priamka $AX$ je os úsečky $PS$, $BY$ je os úsečky $LS$ (lebo trojuholníky $PSX$ a $LSY$ sú rovnoramenné). To znamená, že $|\sphericalangle XBY| = |\sphericalangle XAY| = 90^{\circ}$. Tálesova veta nám hovorí, že body $A$ a $B$ ležia na kružnici s priemerom $XY$. Teda $A$, $B$, $X$, $Y$ ležia na tej istej kružnici so stredom $Z$. Vieme, že os tetivy kružnice prechádza cez stred kružnice. Stred kružnice $A,B,X,Y$ je $Z$ a to znamená, že $Z$ leží na osi úsečky $AB$.
Dokážme teraz, že os úsečky $AB$ a os úsečky $UV$ sú tie isté priamky. Nakreslíme si to na jednoduchšom obrázku, kde $M$ je stred úsečky $AB$.
****
Vieme, že $A$ je stred $PS$ a $B$ je stred $LS$, to znamená že $AB \parallel LP$ a $M$ je tiež stred úsečky $SV$ (lebo trojuholníky $SBA$ a $SLP$ sú podobné). Trojuholník $SUV$ je pravouhlý a $M$ je stred prepony. To znamená, že $|MS| = |MV| = |MU|$, a teda $M$ leží na osi úsečky $UV$ lebo $|MV| = |MU|$. Keďže $AB \parallel LP$, tak os úsečky $UV$ kolmo pretína úsečku $AB$ v jej strede. Teda os úsečky $UV$ je os úsečky $AB$.
Vieme, že os úsečky $AB$ prechádza cez bod $Z$, teda aj os úsečky $UV$ prechádza cez bod $Z$ a to znamená, že $|UZ| = |VZ|$, teda stred úsečky $XY$ má rovnakú vzdialenosť od bodu $U$ ako od bodu $V$.
