Opravovatelia

Michal Staník [email protected]

Ako prvé si všimnime, že $c$ je súčet dvoch druhých mocnín celých čísel (štvorcov), a teda $c \geq 0$.

Rovnicu roznásobením a vyňatím členov iným spôsobom vieme previesť do tvaru, kde na jednej strane máme iba premenné $a$, $b$ a na druhej strane iba $c$: $$\begin{align} a^2c^2 - 2abc + b^2 + b^2c^2 - 2abc + a^2 &= c,\ a^2c^2 + b^2 + b^2c^2 + a^2 &= c + 4abc,\ (c^2 + 1)(a^2+b^2) &= c(1+4ab), \ \frac{a^2+b^2}{1+4ab} &= \frac{c}{c^2 + 1}.\end{align}$$

Skúsené oko si všimne, že ľavá strana má menovateľa obvykle väčšieho ako čitateľa. Poďme zistiť, kedy presne. Vyjdeme klasicky z nezápornosti štvorca rozdielu: $$\begin{align} (a-b)^2 &\geq 0,\ a^2 + b^2 - 2ab&\geq 0,\ a^2+b^2 &\geq 2ab.\end{align}$$ Ak navyše $a^2+b^2 > 0$, tak menovateľ vieme prebiť trikrát čitateľom: $$3(a^2+b^2) \geq 1 + 2ab + 2ab = 4ab + 1.$$ Ak $a^2+b^2 = 0$, tak nutne $a=b=0$. Po dosadení máme $c=0$ a získavame prvé riešenie $(0, 0, 0)$. Záporná táto hodnota (ako súčet štvorcov) byť nemôže.

V opačnom prípade platí uvedená nerovnosť, teda $$\frac{a^2+b^2}{1+4ab} \geq \frac{1}{3}.$$ Tým pádom aj pravá strana našej upravenej rovnice je aspoň $\frac{1}{3}$, čiže $$\begin{align} \frac{c}{c^2 + 1} &\geq \frac{1}{3}, \ 3c &\geq c^2 + 1,\ 0 &\geq c^2 - 3c + 1.\end{align}$$ Násobiť $c^2+1$ môžeme, keďže táto hodnota je aspoň $1$. Dostali sme kvadratickú nerovnosť s kladným koeficientom pri $c^2$. Korene pravej strany sú $\frac{3\pm\sqrt{9-4}}{2}$, čo sú čísla v intervale $(0,1)$, resp. $(2, 3)$. Hodnota bude záporná medzi nimi, teda prípustné celočíselné hodnoty $c$ sú $1$ a $2$.

Ak $c=1$, máme $$(a-b)^2+(b-a)^2 = 1,$$ čo nemôže nastať, pretože ľavá strana je $2(a-b)^2$, čiže párna.

Ak $c=2$, máme $$(2a-b)^2+(2b-a)^2=2.$$ Číslo $2$ vieme ako súčet štvorcov vyjadriť len ako $1+1$. Tu nesmieme zabudnúť na to, že $1$ ako štvorec vieme získať nie len umocnením $1$ na druhú, ale aj $-1$. Teda musí platiť $2a-b = 2b-a \in {1, -1}$.

Máme niekoľko možností: $$\begin{align} 2a-b &= 1 & 2a-b&=-1 & 2a-b&=1\ 2b-a &= 1 & 2b-a&=-1 & 2b-a&=-1\ \intertext{\centerline{\rule{15cm}{0.5pt}}} 4b-b &= 2+1 & 4b-b&=-2-1 & 4b-b&= -2+1\ 3b &= 3 & 3b&=-3 & 3b&= -1\ b&=1 & b&=-1 & & \ a&=1 & a&=-1 & &\end{align}$$ V každej možnosti (stĺpci) sme si napísali sústavu rovníc a potom sme pričítali dvojnásobok druhej rovnice k prvej, aby sme vylúčili premennú $a$. V tretej možnosti nevychádza $b$ celočíselne a posledná štvrtá možnosť (s výmenou $1$ a $-1$) je symetrická s treťou, čiže tiež nemá riešenie.

Dokopy máme teda tri riešenia: $(0, 0, 0), (1, 1, 2), (-1, -1, 2)$.