Opravovatelia

Maťka [email protected]

Hľadané prvočíslo zo zadania si označíme $p$. Ako prvé si uvedomíme, že všetky prvočísla okrem čísla $2$ sú nepárne. Číslo $p$ je teda buď nepárne, alebo je číslom $2$. Číslo $2$ ale nikdy ako súčet prvočísel nedostaneme, keďže $2$ je najmenšie prvočíslo.

Teda $p$ je nepárne. Nepárne číslo ako výsledok súčtu dostaneme len ak sčítame párne a nepárne číslo a to isté platí aj pri rozdiele. Ako párne číslo si môžeme vybrať jedine $2$, $p$ teda môžeme zapísať ako súčet $2$ a nejakého prvočísla $q$. Zároveň $p$ vieme zapísať aj ako rozdiel $2$ a nejakého prvočísla $r$. Číslo $2$ určite nemôže byť v rozdieli menšenec, keďže je to najmenšie prvočíslo, ale musí byť menšiteľ. Získavame tak rovnice $$\begin{align} p &= q+2,\ p &= r-2. \end{align}$$ Z rovníc si môžeme všimnúť, že $q = p-2$ a $r = p+2$, číže $p$, $q$ a $r$ sú $3$ po sebe idúce nepárne čísla.

Ak sa skúsime pozrieť na nejaké trojice po sebe idúcich nepárnych čísel, môžeme si všimnúť, že jedno z nich je vždy deliteľné $3$. Povedzme, že $q$ má po delení $3$ zvyšok $z$. Potom $p$ bude mať po delení $3$ zvyšok $z+2$ a $r$ bude mať zvyšok $z+4 = z+3+1 = (z+1) + 3$, čiže ide o zvyšok $z+1$. Prvočísla $p$, $q$ a $r$ teda vždy majú každé iný zvyšok po delení $3$, a keďže sú len $3$ možné zvyšky, jedno z nich musí byť deliteľné $3$.

Jediné prvočíslo deliteľné $3$ je $3$. Rýchlo si všimneme, že $3$ môžeme dosadiť len na miesto $q$, lebo $3$ je najmenšie nepárne prvočíslo a $q$ je najmenšie číslo z trojice. Potom už ľahko dopočítame, že $p=5$ a $r=7$. Hľadané prvočíslo je teda $5$.