2. Kruto Majetok Stratil $\left(\kappa \le 0\right)$
Zadanie
Ďuro Truľo sa vracal domov naplnený pýchou a hrdosťou. Práve vykonal dobrý skutok! A na dôvažok neodchádzal naprázdno, medzi prstami (opatrne, aby ho nepokrčil) držal svoj prvý zárobok – pravé pierko z prepeličky. Bol už na dohľad od domu, keď nastala galiba. Zafúkalo. Vietor zdvihol pierko do výšin a odniesol ho preč, na míle ďaleko od nešťastného Ďura. Toto všetko videla jeho dobrá mama, ktorá ho už vyzerala pred domom. Rozhodla sa teda synovi dať radu do života.
„Pozri, Ďurko môj, tvoj klobúk má tvar rovnobežníka $ABCD$. Nabudúce si zapichni pierko do bodu $K$ alebo $L$, ktoré ležia postupne na stranách $BC$ a $CD$. Vidíš, ako platí $\lvert AB\rvert+\lvert BK\rvert=\lvert AD \rvert + \lvert DL \rvert$. Vďaka tomu ti odtiaľ nevypadne.“
Dokážte, že os uhla $\sphericalangle BAD$ je kolmá na priamku $KL$.
Opravovatelia
M&M; [email protected]
Kopy [email protected]
V rovnobežníku platí, že protiľahlé strany majú rovnakú dĺžku, preto $|AB|+|BC|=|AD|+|DC|$. Potom z podmienky $|AB|+|BK|=|AD|+|DL|$ ($|AB|+|BK|+|KC|=|AD|+|DL|+|LC|$) vlastne vyplýva $|KC| = |LC|$, a teda trojuholník $KLC$ je rovnoramenný. V rovnobežníku navyše platí, že osi uhlov $\sphericalangle BAD$ a $\sphericalangle LCK$ sú rovnobežné. Os v rovnoramennom trojuholníku je aj výškou na základňu, tak os uhla $\sphericalangle DCB$ je kolmá na priamku $KL$ a potom aj os $\sphericalangle BAD$ je kolmá na priamku $KL$.
Iné riešenie: Nakreslíme si niekoľko obrázkov aby náhodou nedošlo k problému s konfiguráciami. Uvedomíme si, že trojuholník $CKL$ je rovnoramenný, a preto $|\sphericalangle KLC| = |\sphericalangle CKL| = 90^\circ - \alpha$. Potom v trojuholníku $XYL$ resp. $XYK$ je jeden uhol $90^\circ - \alpha$ buďto priamo alebo z vrcholových uhlov. Druhý uhol je $\alpha$ zo súhlasných uhlov pri rovnobežkách a posledný, hľadaný uhol, je $90^\circ$. Pri popisovaní uhlov je však potrebné si uvedomiť, na ktorú konfiguráciu sa odvolávame.
