Opravovatelia

Denys [email protected]

Brian Turza [email protected]

Máme ako zadanie sústavu rovníc, ktoré sa navzájom veľmi podobajú. V takýchto prípadoch môžeme skúsiť rovnice napríklad sčítať alebo vynásobiť. V tomto prípade by sa asi viac hodilo vynásobiť všetky rovnice: $$\begin{align} (y^2z^2w^2x) \cdot (z^2w^2x^2y) \cdot (w^2x^2y^2z) \cdot (x^2y^2z^2w) &= a^7 \cdot b^7 \cdot c^7 \cdot d^7, \ x^7y^7z^7w^7 & = a^7b^7c^7d^7.

\end{align}$$

Keďže 7 je nepárne číslo, tak nám nevadí zobrať siedmu odmocninu z oboch strán: $$\begin{align} \sqrt[7]{x^7y^7z^7w^7} &= \sqrt[7]{a^7b^7c^7d^7},\ xyzw & = abcd.

\end{align}$$

Okej. Teraz by sme sa mohli pozrieť na to, či nám tento vzťah niečo dáva. V každej rovnici vidíme takmer ten istý výraz, ako v pôvodných rovniciach. Lenže každej rovnici chýba jeden činiteľ. Tak ich skúsme týmito premennými prenásobiť: $$\begin{align} y^2z^2w^2x \cdot x &= a^7 \cdot x, \ z^2w^2x^2y \cdot y &= b^7 \cdot y, \ w^2x^2y^2z \cdot z &= c^7 \cdot z, \ x^2y^2z^2w \cdot w &= d^7 \cdot w.

\end{align}$$ Teda: $$\begin{align} (xyzw)^2 &= a^7 x, \ (xyzw)^2 &= b^7 y, \ (xyzw)^2 &= c^7 z, \ (xyzw)^2 &= d^7 w.

\end{align}$$ Tu môžeme použiť rovnosť, čo sme našli: $$\begin{align} a^2b^2c^2d^2 &= a^7 x,\ a^2b^2c^2d^2 &= b^7 y,\ a^2b^2c^2d^2 &= c^7 z,\ a^2b^2c^2d^2 &= d^7 w.

\end{align}$$ Chceli by sme vydeliť obidve rovnice, aby sme dostali len $x,y,z$ alebo $w$. Problém by bol, keby $a^7, b^7, c^7$ alebo $d^7$ by bola nula. Skúsme sa pozrieť, čo by bolo, keby $a^7=0$. Zrejme potom $a=0$. Potom podľa prvej rovnice $x^2y^2z^2w=0$. Potom je ale jedna z premenných $x,y,z,w$ tiež nula. Keby sme potom dosadili nulu za túto premennú, dostali by sme rovnice: $$\begin{align} 0&=0,\ 0&=b^7,\ 0&=c^7,\ 0&=d^7.

\end{align}$$ Čiže potom $a=b=c=d=0$. Tým pádom ak jedna premenná je nula, tak ostatné môžu byť akékoľvek. Všimneme si, že rovnako by sme mohli ukázať tento fakt aj za predpokladu $b^7=0, c^7=0$, alebo $d^7 = 0$. Teda vybavili sme hneď 2 prípady:

1. Ak $a=b=c=d=0$, tak riešenia sú všetky také štvorice: ${(i,j,k,\ell)}$, kde $i,j,k,\ell\in \mathbb{R}$ a $i=0$ alebo $j=0$ alebo $k=0$ alebo $\ell = 0$.

2. Ak je aspoň jedno číslo $a,b,c,d$ nula, a aspoň jedno číslo $a,b,c,d$ nenulové, tak riešenia neexistujú, keďže sme hore ukázali, že ak jedno číslo z $a,b,c,d$ je nulové, tak potom aby rovnice boli splnené, tak musia byť všetky nulové.

Dobre, teraz môžeme predpokladať, že $a,b,c,d$ sú nenulové. Tak potom môžeme tie štyri rovnice, čo sme mali hore, predeliť: $$\begin{align} \frac{a^2b^2c^2d^2}{a^7} &= x,\ \frac{a^2b^2c^2d^2}{b^7} &= y,\ \frac{a^2b^2c^2d^2}{c^7} &= z,\ \frac{a^2b^2c^2d^2}{d^7} &= w.

\end{align}$$ No a už len dokončíme vykrátením: $$\begin{align} \frac{b^2c^2d^2}{a^5} &= x,\ \frac{a^2c^2d^2}{b^5} &= y,\ \frac{a^2b^2d^2}{c^5} &= z,\ \frac{a^2b^2c^2}{d^5} &= w.

\end{align}$$ Čiže, pre nenulové $a,b,c,d$ sú riešenia práve štvorice $\left(\frac{b^2c^2d^2}{a^5}, \frac{a^2c^2d^2}{b^5}, \frac{a^2b^2d^2}{c^5}, \frac{a^2b^2c^2}{d^5}\right)$.