Opravovatelia

Mati [email protected]

Riešenie $1$: Pokiaľ máme šťastie a poznáme Švrčkov bod, tak tento príklad má veľmi elegantné riešenie. Uvážme bod $E$ priesečník osi uhla $\sphericalangle QPR$ a kružnice $k_1$ opísanej trojuholníku $RQP$. Tento bod sa nazýva Švrčkov bod a je o ňom mimo iné známe, že leží v strede zodpovedajúceho kružnicového oblúka. Keďže platí $\lvert AC\rvert=\lvert AB \rvert$, tak aj bod $A$¹, je v strede oblúku opačného oblúku na ktorom leží bod $E$. Špeciálne úsečka $AE$ je priemerom kružnice $k_1$ a podľa Tálesovej vety je teda uhol $ADE$ pravý.

Riešenie $2$: Ak Švrčkov bod nepatrí medzi zbrane ktorými disponujeme, tak bolo dôležité nezúfať. Riešenie bolo možné relatívne priamočiaro vyuhliť. Označme $\lvert \sphericalangle SRQ\rvert=\alpha$, trojuholník $RQS$ je rovnoramenný, takže aj $\lvert \sphericalangle RQS\rvert=\alpha$ a $\lvert \sphericalangle RSQ\rvert=180^\circ-2\alpha$. Ďalej vďaka obvodovosti príslušných uhlov platí $\lvert \sphericalangle RSQ\rvert=\lvert \sphericalangle RPQ\rvert=180^\circ-2\alpha$. Keďže štvoruholník $RQSP$ je tetivový, dostávame $\lvert \sphericalangle SPR\rvert=180^\circ-\lvert \sphericalangle RQS\rvert=180^\circ-\alpha$. Nakoniec si uvedomme, že $\lvert \sphericalangle RPE\rvert=1/2\lvert \sphericalangle RPQ\rvert=90^\circ-\alpha$, ide o os uhla. Posledným výpočtom dostávame $\lvert \sphericalangle SPE\rvert=\lvert \sphericalangle SPR\rvert-\lvert \sphericalangle EPR\rvert=180^\circ-\alpha-90^\circ+\alpha=90^\circ$.