Opravovatelia

Kubko [email protected]

MichalS [email protected]

Na začiatok by sme chceli preskúmať vzťah medzi $n$ a $p$. Tu nám môže pomôcť presunúť členy, ktoré obsahujú len jednu neznámu, na rovnakú stranu a sledovať, čo sa deje na tej druhej. Prepíšme si teda rovnicu v zadaní do tvaru $$4n^3 = 3np^2 - p^3.$$ Vidíme, že pravá strana je deliteľná $p$ (dokonca aj $p^2$), takže aby platila rovnosť, musí byť aj ľavá strana rovnice deliteľná $p$. Keďže sa jedná o prvočíslo, musí sa nachádzať v prvočíselnom rozklade čísla $n^3$ alebo $4$ (alebo dokonca v oboch). My sa pozrieme najprv na prvú možnosť.

Aby bolo $p$ v prvočíselnom rozklade $n^3$, musí byť aj v rozklade čísla $n$. V takom prípade nutne $p \leq n$, inak by nemohlo byť jeho deliteľom. Tento fakt môžeme využiť, keď si zo zadania vyjadríme $p^3$. Dostávame $$p^3 = 3np^2 - 4n^3 \leq 3n^3 - 4n^3 = -n^3.$$ Keďže $n$ je kladné celé číslo, $-n^3$ je záporné, takže aj $p^3$ musí byť záporné, aby platila táto nerovnosť. Avšak všetky prvočísla sú kladné, čiže takéto $p$ nemôže existovať. Vidíme teda, že $p$ nemôže byť deliteľom $n^3$ ani $n$.

Tým pádom musí nastať druhá možnosť, totiž že $p$ je v prvočíselnom rozklade čísla $4$. To znamená, že $p = 2$. Keď poznáme $p$ vieme si napísať rovnicu pre $n$ a vyriešiť $$4n^3 + 8 = 12n.$$ Po vydelení $4$ dostaneme $$n^3 + 2 = 3n.$$ Samozrejme, toto je kubická rovnica, pre ktorú existujú vzorce na vyjadrenie riešenia. Mohli by sme použiť tie a skontrolovať, ktoré riešenia nám dá kladné celé číslo. My radšej ukážeme postup, ktorý znalosť týchto vzorcov nevyžaduje.

Všimnime si, že rovnicu vieme upraviť do tvaru $$2 = 3n - n^3.$$ Vidíme, že $n$ je deliteľom pravej strany, takže aby platila rovnosť vyššie, musí byť zároveň deliteľom čísla $2$. Keďže sa jedná o kladné celé číslo, máme len dve možnosti $1$ alebo $2$. Ľahko overíme, že vyhovuje len $n = 1$. Jediným riešením úlohy tak je dvojica $(p, n) = (2, 1)$.