8. Kúsok Mrzutá Snehulienka
Zadanie
Ďuro Truľo sa vracal domov naplnený pýchou a hrdosťou. Práve vykonal dobrý skutok! A na dôvažok neodchádzal naprázdno, na špagátiku (s parametrami presne podľa rady jeho mamy) si domov viedol nevestu – Snehulienku. Tej po jej záchrane nijak neprekážalo, že Ďuro nie je princ, naopak, bola mimoriadne nadšená z toho, že žije. No ako tak kráčali, vyzerala stále viac a viac zarmútene. Keď ju doviedol do dvora a stiahol jej špagátik z krku, s plačom mu ušla. Jeho dobrá mama len nešťastne pokrútila hlavou.
„Joj, Ďurko môj, takto sa s dievčinami nezaobchádza. Chudera sa od hanby isto túži pod zem prepadnúť. Svoju milú si máš viesť za ruku, hladiť ju a bozkávať…Poď sem, nech ti nakreslím ako.“
Ďuro si môže predstaviť svoju vyvolenú ako lichobežník $ABCD$ so základňami $AB$, $CD$, ktorého uhlopriečky sú navzájom kolmé. Bozkávať ju smie iba v bodoch $P$, $N$, $Q$, $M$, ktoré sú postupne stredmi strán $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Na základni $CD$ existuje špeciálny bod $L$, rozdielny od bodu $Q$, pre ktorý platí, že $\sphericalangle MLN$ je pravý. (Tento bod sa nazýva dlaň a za ňu vyvolenú treba držať.) Určte veľkosť uhla $LPA$.
Opravovatelia
Lukáš [email protected]
V zadaní úlohy vidíme pomerne veľa pravých uhlov, skúsme teda zistiť, ako ich vieme dostať bližšie k sebe. Jeden z pravých uhlov zvierajú priamky $AC$ a $BD$, stojí teda za pokus skúsiť v obrázku nájsť nejaké ich rovnobežky.
A také tam naozaj sú – napríklad $MQ$ je stredná priečka trojuholníka $ACD$, preto je rovnobežná s prislúchajúcou stranou $AC$. Rovnako vieme dostať aj $NP\parallel AC$ a $BD\parallel MP\parallel NQ$. Z toho však jednoducho vyplýva, že aj $\sphericalangle MPN, \sphericalangle PNQ, \sphericalangle NQM$ a $\sphericalangle QMP$ sú pravé, čiže $MPNQ$ je obdĺžnik.
No ešte máme bod $L$, ktorý nemáme v ďalšom súvise s obrázkom, okrem toho, že $|\sphericalangle MLN|=90^\circ$. Všimnime si však, že nad $MN$ je okrem bodu $L$ pravý uhol aj pri bode $Q$, čo nám hovorí, že body $L$ aj $Q$ ležia na Tálesovej kružnici nad priemerom $MN$. Táto kružnica však zdieľa tri body $M, N, Q$ s kružnicou opísanou obdĺžniku $MPNQ$, preto na kružnici leží až päť bodov, a to $L, M, N, P$ a $Q$.
Teraz nám už však na určenie hľadaného uhla nechýba veľa. Totiž všimnime si, že aj $\sphericalangle PNQ$ je pravý. To však znamená, že priemerom uvažovanej kružnice je aj úsečka $PQ$. Preto aj všetky uhly nad ňou sú pravé, čím vieme preniesť uhol k žiadanej úsečke $PL$ ako $|\sphericalangle PLQ|=90^\circ$. A nakoniec už veľkosť hľadaného uhla ľahko vyplynie z rovnobežiek $AB\parallel CD$ preťatých priečkou $LP$, čiže $|\sphericalangle LPA|=90^\circ$.
