Opravovatelia

Džavo [email protected]

Nech sa dá $p$ vyjadriť ako súčet $a(x)+b(x)$, kde $a,b$ sú druhé mocniny polynómov s reálnymi koeficientmi. Označme si $a(x)=h(x)^2$ a $b(x)=g(x)^2$. Keďže $p$ je nenulový, tak aspoň jeden z dvojice $g,h$ je tiež. Hlavnou ideou riešenia si bolo povedať, že je nepravdepodobné, aby sa to dalo iba jedným či dvoma spôsobmi. Keď sa pozrieme na prípad bez druhých mocnín, kde môžeme zapísať nenulový polynóm $q(x)$ ako $q(x)=c(x)+d(x)$ a nekladieme žiadne reštrikcie na $c, d$, tak následne položením $e(x)=u c(x)+v d(x)$ a $f(x)=(1-u)c(x)+(1-v)d(x)$ pre $u,v\in \mathbb{R}$ dostávame nekonečne veľa ďalších dvojíc polynómov s reálnymi koeficientami, ktorých súčet je znova $q(x)$.

Tak poďme skúsiť niečo podobné aj pre náš príklad. Vhodne si navážime $g, h$ aby sme dostali podobné polynómy $e, f$ ako vyššie, ale musíme si dať pozor na umocňovanie. Vieme skúsiť vhodne navážiť $g, h$ a dať ich spolu ako jeden polynóm a ten druhý nejak doplniť, aby to vyšlo. Takýto prístup vedie k nasledovnému riešeniu $$e(x)+f(x)= \left(\frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}h(x)+\frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}g(x)\right)^2+\left(\frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}h(x)-\frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}g(x)\right)^2=h(x)^2+g(x)^2=p(x),$$ kde $u,v \in \mathbb{R}$. Aby sme sa presvedčili, že polynómy budú naozaj rôzne, tak sa stačí pozrieť na vedúci koeficient vo vnútri jednej zo zátvoriek. Jeho druhá mocnina bude vedúci koeficient u $e$ resp $f$. To, že budú navzájom odlišné, sa dá vidieť, napríklad ak zafixujeme $v=1$ a budeme meniť $u$. Následne, ak $h_n, g_n$ sú vedúce koeficienty $h, g$ (prípadne aj jeden nulový, ak je jeden polynóm vyššieho stupňa), tak vedúci koeficient vnútri prvej zátvorky $\frac{u}{\sqrt{u^2+1}}h_n+\frac{1}{\sqrt{u^2+1}}g_n$ je funkcia v $u$, ktorá pre BUNV $h_n > 0$ nadobúda hodnoty z intervalu $(-h_n, h_n)$, z čoho sme hotoví.