1. Kóši Mučí Skalpelom $\left(\kappa \le 0\right)$
Zadanie
Doktor Kóši mal čoraz častejšie problém sústrediť sa na svoju prácu. Dôvodom bol In Te, kráľov vezír, ktorý sa pozýval k nemu do laboratória.
„Potrebujem už len pár dní a všetko bude pripravené.“
„Nemáš ‚pár dní‘. Kráľ očakáva svoju novú armádu…“
„Je to nematematické, spraviť z vazalov poddajných otrokov…“
„Ty sa nezaoberaj tým, čo matematické je a čo nie. To nie je Tvoja práca. Keď sa Ti úloha nepozdáva, zavolaj si na pomoc pána Švarca.“
Pri tomto mene doktora zamrazilo. Ako mohol vezír vedieť o jeho alteregu? In Te odišiel a nechal Kóšiho osamote. Ten upriamil pozornosť späť na svoju prácu.
Doktor Kóši pozrel na svoj skalpel a zarezal ním do Trojuholníka $ADB$. Trojuholník $ADB$ mal tuhý korienok. Jeho strana $AD$ bola dlhá $12$ cm. Avšak ani to trojuholníku nepomohlo. Kóši ním viedol dva rezy ako na obrázku, čím ho rozdelil na trojicu Trojuholníkov. Trojuholníky $ACB$ a $ECD$ boli pravouhlé, rovnoramenné a obsah Trojuholníka $EDB$ bol $9 \text{ cm}^2$. Aký bol obsah trojuholníka $ABD$?
****
Opravovatelia
Maťka [email protected]
****
Zo zadania vieme, že trojuholník $ACB$ je rovnoramenný a má pravý uhol pri bode $C$. Jeho ramenami sú strany $AC$ a $CB$, a teda $|AC| = |CB|$. Zároveň aj trojuholník $ECD$ je rovnoramenný a má pravý uhol pri bode $C$. Jeho ramenami sú strany $CD$ a $EC$, čiže $|CD| = |EC|$. Strana $AD$ má dĺžku $12$ cm a $|AD| = |AC| + |CD|$. Dĺžku $CD$ si môžeme označiť $x$ a dĺžka $AC$ bude tým pádom $|AC| = 12 - x$. Dĺžka $BE$ je $|BE|=|BC| - |EC| = 12-x-x = 12-2x$.
Zo zadania tiež vieme, že trojuholník $EBD$ má obsah 9. Jeho obsah vieme vypočítať, pretože poznáme dĺžku jeho podstavy $BE$ a výšky $CD$. Zo vzorca na obsah trojuholníka dostaneme $$\begin{align}
\frac{|BE|\cdot|CD|}{2} &= 9,\
\frac{(12-2x)\cdot x}{2} &= 9,\
12x-2x^2 &= 18,\
-2x^2 + 12x -18 &= 0,\
x^2 - 6x + 9 &= 0,\
(x-3)^2 &= 0.\end{align}$$ Jediným riešením tejto rovnice je $x=3$. Dĺžka $AC$ je potom $|AC| = 12 - 3 = 9$. Keďže $AC$ a $CB$ majú rovnakú dĺžku, vieme, že $|CB| = 9$.
Teraz už vieme zistiť obsah trojuholníka $ADB$, keďže poznáme dĺžku jeho podstavy $AD$ a výšky $CB$ na ňu. $$\begin{align} S_{\triangle ADB} &= \frac{|AD|\cdot|CB|}{2},\ S_{\triangle ADB} &= \frac{12\cdot9}{2},\ S_{\triangle ADB} &= 54.\end{align}$$ Trojuholník $ADB$ má obsah $54 \text{ cm}^2$.
