Opravovatelia

Jakub Poljovka [email protected]

Z uvedenej rovnice vidíme, že $f(x)>f(x+y)$, keďže hodnota $f(x+x^2f(y))$ je kladná (zo zadania). To ale znamená, že funkcia $f$ musí byť klesajúca, lebo $x<x+y$ a $x, y$ sú ľubovoľné kladné reálne čísla. Z klesajúcosti nám automaticky vyplýva aj prostosť funkcie $f$¹. Dosaďme do rovnice dvojicu $[1,y]$ za $[x, y]$. Dostávame $$\tag{1} f(1) = f(1+y) + f(1 + f(y)).$$ Teraz by sme chceli vytvoriť člen $f(1+f(y))$ druhým spôsobom, aby sme sa ho odčítaním zbavili. Dosaďme preto dvojicu $[1,f(y)]$, čím dostávame $$\tag{2} f(1) = f(1+f(y)) + f(1 + f(f(y))).$$ Odčítaním a úpravou rovníc (1) a (2) dostávame $$\tag{3} f(1+y)=f(1+f(f(y))).$$

Keďže už vieme, že $f$ je prostá, z rovnosti (3) vyplýva $$\begin{align} 1+y &= 1 + f(f(y)),\nonumber\ \tag{4} f(f(y)) &= y.\end{align}$$ Dosaďme do pôvodnej rovnice dvojicu $[x, f\left(\frac{1}{x^2}\right)]$: $$f(x) = f\left(x + f\left(\frac{1}{x^2}\right)\right) + f\left(x + x^2f\left(f\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)\right),$$ čo síce vyzerá hrozne, ale vďaka (4) to vieme upraviť a zbaviť sa zároveň $f$-ka, aj členu $x^2$. $$\tag{5} f(x) = f\left(x + f\left(\frac{1}{x^2}\right)\right) + f\left(x + 1\right).$$ Do pôvodnej rovnice dosadíme dvojicu $[x,1]$: $$\tag{6} f(x) = f(x+1) + f(x+x^2f(1)).$$ Odčítaním a úpravou rovností (5) a (6) dostávame $$f\left(x+f\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)=f(x+x^2f(1)),$$ z čoho opäť vďaka prostosti funkcie $f$ vyplýva $$\begin{align} x+f\left(\frac{1}{x^2}\right)&=x+x^2f(1),\nonumber\ \tag{7} f\left(\frac{1}{x^2}\right)&=x^2f(1).\end{align}$$ Dosadením ${\frac{1}{\sqrt{x}}}$ do rovnosti (7) tak nakoniec dostávame $$f(x)=\frac{f(1)}{x}.$$ Za hodnotu $f(1)$ môžeme pripustiť ľubovoľnú konštantu $c \in \mathbb{R}^+$. Dôsledkovými úpravami sme tak odvodili, že ak má existovať nejaké riešenie pôvodnej funkcionálnej rovnice, musí ísť o riešenie tvaru $f(x)=\frac{c}{x}$. Aby sme toto riešenie overili, potrebujeme ešte urobiť skúšku správnosti, čiže dosadiť toto riešenie do pôvodnej rovnice. Po dosadení dostávame $$\begin{align} \frac{c}{x} &= \frac{c}{x+y} + \frac{c}{x+x^2\frac{c}{y}},\ (x+y)\left( x + x^2\frac{c}{y} \right) &= x\left(x+x^2\frac{c}{y}\right) + x(x+y),\ cx^2&=x^2. \end{align}$$ Zo skúšky vidíme, že aby rovnica platila, musí byť $c=1$. Dostávame jediné riešenie danej funkcionálky, a to $f(x)=\frac{1}{x}$.