Opravovatelia

Filip [email protected]

Baška [email protected]

Na úplnom začiatku je dobré si predstaviť, ako bude situácia vyzerať na obrázku. Pokiaľ má bod $Y$ ležať na úsečke $B\check{C}$, a zároveň body $B, \check{C}$ ležia na kružnici $l$, ktorej je bod $Y$ stredom, potom musí platiť, že bod $Y$ je stredom úsečky, pretože vzdialenosť $Y$ od $B$ a $Y$ od $\check{C}$ je polomer kružnice $l$ (nazvime ho $a$).

****

Zo zadania vieme, že cez bod $A$ prechádza kružnica $l$, inými slovami bod $A$ leží na kružnici $l$. Zároveň vieme, že body $B, \check{C}$ ležia aj na kružnici $k$, ktorej stredom je bod $A$, takže bod $A$ je od oboch bodov rovnako vzdialený. Bod $A$ teda leží na osi úsečky $B\check{C}$ a zároveň kružnici $l$. Máme teda celkovo $2$ možnosti, kam ho umiestniť.

****

Bez ujmy na všeobecnosti uvažujme bod $A_1$ ako náš bod $A$. Vieme, že vzdialenosť bodu $A$ od bodu $Y$ je $a$, pretože bod $A$ leží na kružnici $l$. Zároveň vieme, že uhly $AYB$ a $AY\check{C}$ sú pravé, keďže bod $A$ leží na osi úsečky $B\check{C}$. Tým pádom vieme dorátať dĺžku strany $AB$ cez Pytagorovu vetu ako $$\begin{align} |AY|^2 + |BY|^2 &= |AB|^2, \ \sqrt{a^2+a^2} &= a\sqrt{2}.\end{align}$$

Podobne si vieme dorátať aj dĺžku strany $A\check{C}$. O týchto stranách zároveň vieme, že sú polomerom kružnice $k$.

****

Vieme, že bod $X$ je vzdialený od bodu $A$ dvojnásobok $|AY| = a$, teda $X$ je od $A$ vzdialený $2a$. Polomer kružnice $k$ je $a\sqrt{2}$, čo je menej ako $2a$, teda bod $X$ sa nachádza mimo kružnice $k$. Tým sme dokázali časť $1$.

Teraz zostrojme dotyčnicu ku kružnici $k$ z bodu $X$ cez dotykový bod $T$. Zároveň veďme k tomuto bodu úsečku z bodu A. Keďže bod $T$ leží na kružnici $k$, tak jeho vzdialenosť od bodu $A$ je polomer kružnice $k$, teda $a\sqrt{2}$. Navyše vieme, že vzdialenosť bodov $X, A$ je $2a$ a v bode $T$ sa nachádza pravý uhol, pretože tam máme dotyčnicu. Z Pytagorovej vety teda opäť vieme dorátať dĺžku strany $XT$. $$\begin{align} |XT|^2 &= |XA|^2 - |AT|^2,\ |XT| &= \sqrt{(2a)^2-\left(a\sqrt{2}\right)^2} = \sqrt{4a^2-2a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}.\end{align}$$

****

Analogicky určíme, že $|XD|=a\sqrt2$.

Vidíme, že štvoruholník $ATXD$ je štvorec, pretože všetky jeho strany sú rovnaké a má $2$ pravé uhly (premyslite si, že potom musí mať aj zvyšné dva). Teda vieme, že jeho uhlopriečky sú rovnako dlhé, pretínajú sa v strede a sú na seba kolmé. Z toho vieme, že dĺžka úsečky $TD$ je $2a$, zároveň vieme, že je rovnobežná s úsečkou $B\check{C}$, pretože obe sú kolmé na $AY$.

Nazvime si teraz priesečník uhlopriečok $AX$ a $TD$ ako bod $P$.

****

Vidíme, že bod $P$ je od bodu $Y$ vzdialený $2a$, oba body $Y$ aj $P$ sú postupne stredy strán $\check{C}B$ a $TD$ a zároveň sú obe tieto strany kolmé na $PY$. Z toho vidno, že úsečky $BT$, $\check{C}D$ sú obe rovnobežné s $PY$, zároveň z toho vidno, že aj body $B, T$ sú od seba vzdialené $2a$, ako aj body $\check{C}, D$.

****

Môžeme vidieť, že všetky strany štvoruholníka $\check{C}BTD$ sú rovnako dlhé a zároveň vieme, že jeho strany sú rovnobežné, z toho vidíme, že $\check{C}BTD$ je rovnobežník. Jediný rovnobežník s rovnakými dĺžkami strán, ktorému vieme opísať kružnicu je štvorec. Čo Bolo Treba Dokázať.