Toho večera v tmavom kúte hradu v hlavnom meste Al-Gebry sa chystala Mita Li na ďalšiu tajnú prácičku. Kvôli kontrolám po ceste si nemohla zobrať zbraň vcelku, no Mita bola skúsená a vedela, ako si zbraň zmontovať. Ak všetko klapne, Al-Gebra bude ráno potrebovať nového vládcu.
Ako rukoväť Mitinej zbrane slúži číslo $r$ a ostrie má tvar čísla $o$. Mita si samozrejme nezabudla svoj skrutkovač a kladivko. Pomocou skrutkovača dokáže z dvoch kladných celých čísel $a$ a $b$ zhotoviť dvojicu čísel $\overline{ab}, \overline{ba}$, ktorou nahradí pôvodnú dvojicu čísel. Keď na čísla $a, b$ použije kladivko, tak ich zmení na čísla $a+b$ a $|a-b|$.
Mita vie, že kráľ Horner disponuje štítom, cez ktorý preniknú iba zbrane, ktorých rúčka $r$ aj ostrie $o$ sú deliteľné číslom $9$. Určte všetky dvojice kladných celých čísel $(x, y)$, z ktorých dokáže Mita zmajstrovať takúto zbraň.
Poznámka: Značením $\overline{ab}$ rozumieme celé číslo zložené z cifier kladného celého $a$, za ktorými sú napísané cifry kladného celého čísla $b$.
Opravovatelia
Štepi [email protected]
Vítek [email protected]
Zaujíma nás iba, či budú tie čísla deliteľné deviatimi, takže sa nám stačí pozerať na zvyšky po delení $9$. Nech máme dvojicu zvyškov $(a, b)$ (pričom bez ujmy na všeobecnosti to prvé číslo je väčšie alebo rovné ako to druhé), potom skrutkovačom dostaneme $(a + b, a + b)$1 a kladivkom $(a + b, a - b)$, pričom zase to prvé číslo bude väčšie alebo rovné ako to druhé. Od tohto bodu už budeme hovoriť iba o zvyškoch a týchto nových operáciach. Ešte budeme hovoriť, že ak dosiahneme $(0, 0)$, tak sme vyhrali a ak sa to z nejakej dvojice nedá, tak sme prehrali.
Ak v nejakom bode použijeme skrutkovač, potom obe čísla budú rovnaké. Ďalej použitím skrutkovača sa dostaneme na $(2x, 2x)$. Použitím kladivka sa z $(x, x)$ dostaneme na $(2x, 0)$, potom skrutkovačom aj kladivkom na $(2x, 2x)$. Tým sa nezmení deliteľnosť deviatimi, takže ak $x\neq 0$, tak už potom nevyhráme.
Ak zo začiatočnej dvojice použijeme iba kladivko, tak z $(a, b)$ dostaneme $(a + b, a - b)$ a potom $(2a, 2b)$. Keď to budeme robiť ďalej, tak sa teda dostaneme len k číslam $(2^ka, 2^kb)$ a $(2^k(a + b), 2^k(a - b))$. Po prvom použití skrutkovača potom dostaneme $(2^k(a + b), 2^k(a + b))$ alebo $(2^ka, 2^ka)$.
Vyhráme teda v prípade, že $a\equiv 0\pmod 9$ alebo $a + b\equiv 0\pmod 9$. Keďže násobenie $2$ nám deliteľnosť deviatimi nezmení, v iných prípadoch nemôžeme vyhrať.
lebo $10a\equiv a\pmod 9$ a $10b\equiv b\pmod 9$. ↩
Korešpondenčný matematický seminár zastrešuje občianske združenie Trojsten.
Trojsten, o.z.
FMFI UK, Mlynská dolina
842 48 Bratislava
Intenzívny matematický zážitok v lete
Tímová matematická súťaž pre stredoškolákov
Knižnica všemožných matematických múdrostí