Opravovatelia

Mišo M. [email protected]

Označme $O$ stred kružnice $k$. Podľa zadania nám stačí ekvivalentne dokázať, že bod $L$ leží na priamke $KO$, resp. že priamky $KO, PE$ a $QF$ sa pretínajú v jednom bode. Ak dokážeme ľubovoľné z týchto tvrdení, tak máme vyhrané. My sa zameriame na to posledné.

****

Než sa však pustíme do dokazovania, preskúmajme najprv body, ktoré dané priamky definujú. Bod $K$ je stredom vpísanej, bod $O$ stredom opísanej kružnice. V bodoch $E$ a $F$ sa vpísaná kružnica dotýka strán trojuholníka. Najzaujímavejšie sú body $P$ a $Q$. Priamka $BK$, na ktorej leží $P$, je os uhla $\sphericalangle ABC$. Je známe, že os uhla pretína kružnicu opísanú trojuholníku v strede kružnicového oblúka, v tomto prípade medzi $A$ a $C$.¹ Jedná sa o tzv. Švrčkov bod trojuholníka $ABC$ voči bodu $B$. Bod $P$ teda zároveň leží aj na osi strany $AC$. Rovnako by sme dokázali, že aj bod $Q$ leží na osi strany $AB$.

Na osiach strán trojuholníka leží aj stred $O$ jeho opísanej kružnice. Úsečky $OP$ a $OQ$ sú teda kolmé postupne na $AC$ a $AB$. Podobne, keďže v bodoch $E$ a $F$ sa vpísaná kružnica dotýka strán trojuholníka, platí, že aj $KE$ je kolmá na $AC$ a $KF$ je kolmá na $AB$. Môžeme tak napísať $OP \parallel KE$ a $OQ \parallel KF$.

V tomto momente sme sa dostali k rovnobežnosti úsečiek, ktorú by sme radi použili na dôkaz, že sa nejaké tri priamky pretínajú v jednom bode. S tým nám pomôže rovnoľahlosť. Ak nejaká rovnoľahlosť zobrazuje bod $K$ na bod $O$, bod $E$ na bod $P$ a bod $F$ na bod $Q$, tak stred tejto rovnoľahlosti leží na priamkach $KO, PE$ a $QF$. Dokážeme, že trojuholníky $KEF$ a $OPQ$ sú rovnoľahlé.

****

Už vieme, že platí $KE \parallel OP$ a $KF \parallel OQ$. Na rovnoľahlosť nám stačí ukázať, že sú tieto trojuholníky podobné, ale nie zhodné. V opačnom prípade by mohli byť priamky $KO, PE$ a $QF$ rovnobežné. Začnime zdôvodnením, prečo nie sú zhodné. Prvým krokom je uvedomenie si, že úsečky $KE$ a $KF$ sú polomery vpísanej kružnice, a teda $|KE| = |KF|$. Analogicky $|OP| = |OQ|$, keďže sa jedná o polomery kružnice $k$ opísanej trojuholníku $ABC$. Potom aj $|OP| > |KE|$ a trojuholníky zhodné nie sú. Navyše $$\frac{|KE|}{|OP|} = \frac{|KF|}{|OQ|}.$$

Pozrime sa teraz na uhly medzi spomínanými úsečkami. Uhol $EKF$ je súčasťou štvoruholníka $AEKF$. Už vieme, že uhly $AEK$ a $AFK$ sú pravé. Keď označíme $\alpha$ uhol $EAF$, vieme vyjadriť zvyšný uhol ako $$|\sphericalangle EKF| = 360^\circ - 2 \cdot 90^\circ - \alpha = 180^\circ - \alpha.$$

Podobný postup nám prejde aj pre uhol $POQ$. Priamky $OP$ a $OQ$ sú kolmé postupne na strany $AC$ a $AB$. Označme $X$ priesečník $OP$ a $AC$ a $Y$ priesečník $OQ$ a $AB$. Keďže $P$ a $Q$ ležia zvonka trojuholníka $ABC$ a $O$ ako stred opísanej kružnice ostrouhlého trojuholníka leží vnútri, môžeme povedať, že $\sphericalangle XOY$ je totožný s $\sphericalangle POQ$. Opäť tak dostávame štvoruholník $AXOY$ s pravými uhlami $AXO$ a $AYO$ a uhlom s veľkosťou $|\sphericalangle XAY| = \alpha$. Platí teda $$|\sphericalangle POQ| = |\sphericalangle XOY| = 360^\circ - 2 \cdot 90^\circ - \alpha = 180^\circ - \alpha = |\sphericalangle EKF|.$$

Tým sme ukázali, že trojuholníky $KEF$ a $OPQ$ sú podobné podľa vety $sus$. Tým, že majú rovnobežné dve dvojice strán, tak sú zároveň rovnoľahlé, takže priamky $KO, PE$ a $QF$ sa pretínajú v jednom bode, čo sme chceli dokázať.