Opravovatelia

Noro [email protected]

Jožtek [email protected]

Na začiatok si nakreslíme obrázok a vyznačíme si v ňom, čo máme zadané.

V rovnoramennom trojuholníku $ABV$ sú uhly pri základni rovnaké. Preto $|\sphericalangle VBA| = |\sphericalangle VAB| = 40^\circ$. Dopočítaním uhlov do $180^\circ$ potom dostaneme $|\sphericalangle AVB| = 100^\circ$. Rovnako pre rovnoramenný trojuholník $ACV$ dopočítame $|\sphericalangle VCA| = 20^\circ$ a $|\sphericalangle AVC| = 140^\circ$. Na záver vieme veľkosť hľadaného uhla $BVC$ zistiť odpočítaním z plného uhla: $$|\sphericalangle BVC| = 360^\circ - |\sphericalangle AVB| - |\sphericalangle AVC| = 360^\circ - 100^\circ - 140^\circ = 120^\circ.$$

Teraz pristúpime k druhej časti. No je vhodné rozmyslieť si, ako do obrázku zaznačíme bod $D$. Trojuholník $BDV$ je tiež rovnoramenný. Jeho základňa leží na polpriamke z bodu $B$, ktorá zviera s úsečkou $BV$ uhol $10^\circ$. Na našom obrázku sa táto polpriamka nachádza „nad“ úsečkou $BV$, aby nám preťala úsečku $BV$. V rovnoramennom trojuholníku $BDV$ máme druhý uhol pri základni s veľkosťou $|\sphericalangle VDB| = 10^\circ$, a teda oproti základni máme $|\sphericalangle BVD| = 160^\circ$. Ďalej si vieme dopočítať $|\sphericalangle AVC| = 360^\circ - |\sphericalangle BVD| - |\sphericalangle BVC| = 360^\circ - 160^\circ - 120^\circ = 80^\circ.$ Potom v rovnoramennom trojuholníku $CDV$ dopočítame zhodné uhly pri základni $|\sphericalangle VDC| = |\sphericalangle VCD| = (180^\circ - 80^\circ) / 2 = 50^\circ$. Na záver veľkosť hľadaného uhla získame ako súčet $$|\sphericalangle BDC| = |\sphericalangle VDB| + |\sphericalangle VDC| = 10^\circ + 50^\circ = 60^\circ.$$

Komentár 1

Väčšina z vás nám správne prečítala myšlienky, že sme v zadaní mysleli, že sa trojuholníky $VAB$ a $VAC$ neprekrývajú. Prísne vzaté sa však nič také v zadaní nehovorí. Preto má úloha dve riešenia – druhým je $|\sphericalangle BVC| = 40^\circ$ a $|\sphericalangle BDC| = 20^\circ.$ Oba uhly sa dajú vypočítať analogickým postupom, aký sme uviedli. Výpočet $|\sphericalangle BVC|$ naznačíme aj na obrázku.

Niektorí riešitelia uviedli práve túto možnosť ako (ich jediný) výsledok. Po správnosti by sme mali vyžadovať, aby ste v riešeniach uviedli obe možnosti. Nakoľko však išlo iba o úlohu $2$ a aj nepozornosť na našej strane, tak nám stačilo jedno z týchto dvoch riešení. Treba si však na to dávať pozor. Pri vyšších úlohách je bežnou praxou, že treba rozlíšiť rôzne konfigurácie bodov, ktoré môžu vyžadovať mierne odlišné postupy riešenia (napr. uhly sa odčítavajú miesto sčítavania) a niekedy môžu viesť aj k odlišným výsledkom. Za ich ignorovanie môžete stratiť nejaké body.

Komentár 2

Čo by sa stalo, ak by sme miesto veľkostí uhlov $VAB$ a $VAC$ mali zadaný len ich súčet $|\sphericalangle BAC| = 60^\circ$? Úlohu by sme stále vedeli riešiť rovnakými myšlienkami. Stačí si označiť neznáme uhly ako $|\sphericalangle VAB| = \alpha$ a $|\sphericalangle VAC| = 60^\circ - \alpha$. Potom nám v stručnosti vyjde $$|\sphericalangle BVC| = 360^\circ - (180^\circ - 2\alpha) - (60^\circ + 2\alpha) = 120^\circ.$$ Dokonca možno objaviť všeobecnejší záver, že uhol $BVC$ má vždy dvojnásobnú veľkosť ako uhol $BAC$ (kde by sme pri dôkaze potrebovali premennú navyše).

Tento všeobecný záver je známy z tvrdeniach o kružnici. Skutočne, vďake zhodnosti dĺžok ramien $|VA| = |VB| = |VC|$ body $A$, $B$, $C$ ležia na kružnici so stredom $V$. V takejto situácii sa uhol $BVC$ nazýva stredový uhol a uhol $BAC$ sa nazýva obvodový uhol. Stredový a obvodový uhol vždy prislúcha nejakému kružnicovému oblúku. V tomto prípade ide o oblúk $BC$, ktorý neobsahuje bod $A$. Veta o obvodovom a stredovom uhle vraví, že stredový uhol má dvojnásobnú veľkosť ako obvodový uhol prislúchajúci rovnakému oblúku. Dokazuje sa tak, ako sa rieši táto úloha, len všeobecnejšie so zopár premennými (a tiež rozlíšením viacerých prípadov, ako situácia môže vyzerať).

Využite tejto vety je často kľúčové vo vyšších geometrických úlohách KMS. Samozrejme, aj v tejto úlohe ste ju mohli využiť (a to v oboch častiach) a napísať tak riešenie na pár riadkov.