Opravovatelia

Naťa [email protected]

Oski [email protected]

Rovnicu si najprv upravíme na $$\begin{align} 3x^2y-10xy-8y-17&=0, \ (3x^{2}-10x-8)y&=17. \end{align}$$

Všimneme si, že $3x^{2}-10x-8$ vieme rozložiť na $3(x+\frac{2}{3})(x-4)$, čo sme mohli zistiť zo vzorca pre korene kvadratickej rovnice, alebo z postupných úprav výrazu. Ďalej budeme používať tvar $(3x+2)(x-4)$. Dostávame tak

$$\begin{align} (3x^{2}-10x-8)y&=17, \ (3x+2)(x-4)y&=17. \end{align}$$

Pamätajme ale, že $x, y$ sú celočíselné. V celej úlohe budeme využívať, že násobenie, delenie, sčítanie a odčítanie medzi celými číslami nám dajú celé čísla.

Ľavá strana rovnice sa skladá zo súčinu troch výrazov, teda všetky tri tieto výrazy musia byť nejakým deliteľom $17$. Číslo $17$ je prvočíslo, teda má (celočíselných) deliteľov $1$ a $17$, pričom ale nemôžeme zabudnúť na $-1$ a $-17$.

Všimnime si, že výraz $3x+2$ nemôže byť $1$ ani $-17$, pretože potom by $x$ nebolo celé. Zostávajú nám teda dva prípady:

• Výraz $3x+2=-1$, čiže $x=-1$. Potom však $x-4=-5$, čo nie je deliteľ $-17$.

• Výraz $3x+2=17$, čiže $x=5$. Potom $x-4=1$, čiže nám zostáva doplniť $y=1$.

Dostali sme tak jediné riešenie, a to $x=5$, $y=1$.