Opravovatelia

Alic [email protected]

Matúš [email protected]

Zo zadania vieme, že aby niekto prehral, musí mať na začiatku svojho ťahu nula zápaliek v ruke a zároveň musí byť nula zápaliek v strede na stole.

Našou prvou intuitívnou myšlienkou môže byť preto: Každý hráč sa snaží tento stav oddialiť čo najviac. A preto, pokiaľ má tú možnosť, vždy si vezme zápalku zo stredu stola — tým oddiali moment, keď sa sám ocitne bez zápaliek a nemôže spraviť ťah. Pokiaľ by vždy len ťahal, nikdy by neprehral.

Avšak čo sa stane, pokiaľ by si náš hráč $X$ zrazu nemohol potiahnuť? V tom prípade musí položiť zápalku zo svojej ruky do stredu. Môžeme si byť istí, že aspoň prvýkrát to bude môcť urobiť, keďže buď si v predošlom ťahu potiahol zápalku na ruku (tým pádom má na ruke aspoň jednu), alebo je začiatok hry (tým pádom tiež určite jednu má). Po tomto ťahu bude v strede jedna zápalka, ktorú tam hráč $X$ položil.

Počas kola je parita počtu zápaliek v strede po ťahu hráča $X$ rovnaká, ako na začiatku jeho ďalšieho ťahu. Je to preto, lebo zvyšní dvaja hráči môžu spraviť len jednu z nasledovných kombinácií ťahov: $+1$ $+1$ (obaja pridajú zápalku do stredu), $-1$ $-1$ (obaja odoberú zápalku zo stredu) a $+1$ $-1$ (jeden pridá a druhý odoberie, alebo naopak). Každá z týchto kombinácií zanecháva rovnakú paritu. Pred ďalším ťahom hráča X preto bude na stole buď znova $1$ zápalka, alebo $3$ (mínus jedna byť nemôže). Z toho vyplýva, že aspoň jedna tam určite je, a preto sa vraciame späť na začiatok, kedy si znova môže (a bude) brať na ruku.

Stratégia je preto nasledovná: Ak môže – teda ak je v strede aspoň jedna zápalka – potiahne si zápalku zo stredu. Ak v strede žiadna zápalka nie je, jednu tam položí. Týmto spôsobom teda hráč $X$ určite nikdy neprehrá, a zároveň vie udržať hru donekonečna.

V zadaní sme sa pýtali na Deukalióna. Podľa tohto postupu by vedel držať hru donekonečna. Avšak pozor, treba zodpovedať všetky otázky zo zadania! Ešte preto treba zodpovedať otázku, či by vedel poraziť Noeho a Manua. To však nedokáže, keďže vyššie opísaná stratégia funguje bez ohľadu na to, či zvyšní dvaja hráči spolupracujú (postup sa týkal všeobecného hráča $X$, nie nutne Deukalióna). Tým pádom môže túto stratégiu použiť ktokoľvek, aj Noe a Manu, ktorí vďaka nej tiež nikdy neprehrajú.