5. Kreuje Maui Súostrovia
Zadanie
„Ďalším vzácnym exponátom je Mauiho rybársky háčik. Ten si vytvoril sám, podľa niektorých z rybacej sánky, podľa iných z kostí svojich predkov. Faktom ostáva, že pomocou neho vylovil z hĺbok Pacifiku severný ostrov Nového Zélandu a dokonca aj Havajské súostrovie.“
Ostrov, ktorý Maui vylovil ako prvý, mal tvar rôznostranného ostrouhlého trojuholník $ABC$ s opísanou kružnicou $k$. Osi vnútorných uhlov $\sphericalangle ABC$ a $\sphericalangle ACB$ pretnú kružnicu $k$ postupne v bodoch $P$ a $Q$. Nech $R$ je ľubovoľný bod kratšieho oblúka $BC$ rôzny od $B, C$ a nech $M, O$ sú po rade priesečníky $PR$ s $CQ$ a $QR$ s $BP$. Dokážte, že stred vpísanej kružnice trojuholníka $ABC$ leží na kružnici opísanej trojuholníku $MOR$.
Opravovatelia
Petr [email protected]
Lukáš [email protected]
Začneme tým, že označíme ako $S$ stred kružnice vpísanej trojuholníka $ABC$. Tento stred leží na priesečníku osí vnútorných uhlov trojuholníka $ABC$. Aby sme dokázali, že bod $S$ leží na kružnici opísanej trojuholníku $MOR$, stačí ukázať, že štvoruholník $SORM$ je tetivový, teda že súčet veľkostí protiľahlých uhlov je $180^\circ$.
Najprv určíme veľkosť uhla $\sphericalangle BSC \equiv \sphericalangle OSM$. Nech uhly trojuholníka $ABC$ sú postupne $\alpha, \beta, \gamma$. Potom uhol $PBC$ má veľkosť $\beta / 2$ a uhol $QCB$ má veľkosť $\gamma / 2$. Keďže súčet uhlov v trojuholníku je vždy $180^\circ$, vieme, že zostávajúci uhol má veľkosť presne $|\sphericalangle BSC| = |\sphericalangle OSM| = 180^\circ - \beta / 2 - \gamma / 2$.
Ďalej určíme veľkosť uhla $\sphericalangle PRQ \equiv \sphericalangle MRO$ (ktorý je protiľahlý k uhlu $\sphericalangle OSM$). Všimneme si, že uhol $ARQ$ má rovnakú veľkosť ako uhol $ACQ$, ktorého veľkosť je $\gamma / 2$, preto aj $|ARQ| = \gamma / 2$. Toto plynie priamo z vety o obvodových uhloch. Analogicky dostávame, že $|\sphericalangle ARP| = |\sphericalangle ABP| = \beta / 2$, a teda ich súčet je $|\sphericalangle MRO| = |\sphericalangle PRQ| = |\sphericalangle PRA| + |\sphericalangle ARQ| = \beta / 2 + \gamma / 2$.
Nakoniec môžeme jednoducho spočítať, že $|\sphericalangle OSM| + |\sphericalangle MRO| = 180^\circ - \beta/2 - \gamma/2 + \beta/2 + \gamma/2 = 180^\circ$, a teda náš štvoruholník je tetivový, čo znamená, že mu môžeme opísať kružnicu. Na tejto kružnici ležia body $M$, $R$, $O$, preto táto kružnica je taktiež kružnicou opísanou trojuholníka $MRO$.
