Opravovatelia

Bebe [email protected]

BaškaN [email protected]

Najprv sa musíme zamyslieť, čo znamená pre dĺžky strán trojuholníka, že je ostrouhlý. Bez ujmy na všeobecnosti predpokladajme $0 < a \leq b \leq c$. Označme si najväčší uhol (oproti strane $c$) $\gamma$. Aby bol trojuholník ostrouhlý, musí platiť $\gamma < 90^\circ$, z čoho vyplýva, že $\cos(\gamma) > 0$. Tieto fakty vieme dosadiť do kosínusovej vety, čím dostaneme $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma) < a^2 + b^2.$$ Takže pre ostrouhlé trojuholníky platí $c^2 < a^2 + b^2.$

Teraz poďme dokázať našu úlohu sporom. Predpokladajme teda, že by existovalo $12$ čísel $a_1, a_2, \dots, a_{12},$ z ktorých by sme nemohli vybrať 3 tak, aby tvorili strany ostrouhlého trojuholníka. Bez ujmy na všeobecnosti predpokladajme $$a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \dots \leq a_{12}.$$ A teda, aby sa zo žiadnej trojice strán nedal vytvoriť ostrouhlý trojuholník, musí pre všetky $i = 1, \dots, 10$ platiť: $$a_{i+2}^2 \geq a_{i+1}^2 + a_{i}^2.$$

Teraz poďme všetky tieto nerovnosti prepojiť do jednej. Najprv sa ale pozrime, ako spojíme dve takéto nerovnosti s koeficientmi $k$ a $l$, kde $j > i$: $$a_{j}^2 \geq k \cdot a_{i}^2 + l \cdot a_{i-1}^2 \geq k \cdot (a_{i-1}^2 + a_{i-2}^2) + l \cdot a_{i-1}^2 = (k+l) \cdot a_{i-1}^2 + k \cdot a_{i-2}^2.$$

Tu si môžeme všimnúť, že v každom kroku nahrádzame koeficient pri $a_{i-1}^2$ súčtom dvoch predchádzajúcich koeficientov a $a_{i-2}^2$ preberie koeficient od $a_{i}^2$. Teda koeficienty v ďalších nerovnostiach vznikajú presne tak, ako sa vytvárajú čísla Fibonacciho postupnosti.

Začnime pri nerovnosti s koeficientmi $1$ a $1$: $$a_{12}^2 \geq a_{11}^2 + a_{10}^2,$$ postupným skladaním $11$ nerovností s prvou dostaneme $$a_{12}^2 \geq F_{11} \cdot a_2^2 + F_{10} \cdot a_1^2 = 89a_2^2 + 55a_1^2.$$ Vieme, že $a_1, a_2 > 1$, a teda aj $a_1^2, a_2^2 > 1$. Preto: $$a_{12}^2 > 55 + 89 = 144 \Rightarrow a_{12}

12,$$ čo je spor s tým, že $a_{12} \in (1,12)$.

Tým sme dokázali, že aspoň jedna trojica čísel musí spĺňať $$c^2 < a^2 + b^2,$$ a teda vie tvoriť strany ostrouhlého trojuholníka.