Opravovatelia

Brian [email protected]

Iľo [email protected]

Budeme využívať dve známe tvrdenia:

Tvrdenie 1. Nech $a,b,c$ sú celé čísla také, že $a\neq0$, $a|b$ a $a|c$. Potom $a|b-c$.¹

Tvrdenie 2. Nech $q\neq1$ je celé číslo a $n$ je kladné celé číslo. Potom platí $q-1|q^n-1$.²

Teraz už môžme dokázať našu úlohu. Zo zadania platí, že $r-z|r-z$ a $r-z|r^2-z$. Takže podľa tvrdenia 1 delí $r-z$ aj rozdiel: $$r-z|(r^2-z)-(r-z)=r^2-r=r(r-1).$$ Označme si najväčšieho spoločného deliteľa čísel $r$ a $r-z$ ako $d$. Potom z tvrdenia 1 platí, že $d|r-(r-z)=z$. Takže $d$ delí $r$ aj $z$ zároveň. Tie sú zo zadania nesúdeliteľné, takže $d=1$ a tým sme dokázali, že aj $r$ a $r-z$ sú nesúdeliteľné. Z toho už dostávame, že $r-z|r-1$. Zároveň $r-z|(r-1)-(r-z)=z-1$. Z tvrdenia 2 platí, že $r-1|r^a-1$ a $z-1|z^b-1$ pre všetky kladné celé čísla $a,b$. Takže z tvrdenia 1: $r-z|(r^a-1)-(z^b-1)=r^a-z^b$. $\square$