Opravovatelia

Mišo M. [email protected]

Než sa pustíme do riešenia, uvedomme si, že ak sa majú úsečky $AC$ a $BD$ preťať, body $A, B, C, D$ musia ležať na kružnici $k$ v tomto poradí. Zároveň si môžeme všimnúť, že bod $Y$ bude ležať buď medzi polpriamkami $XA$ a $XD$ alebo medzi $XB$ a $XC$. Podobne bod $Z$ môže ležať medzi $XA$ a $XB$ alebo medzi $XC$ a $XD$.

Zamerajme sa teraz na bod $Y$. Keďže máme v zadaní viacero kružníc so spoločnými bodmi, môžeme skúsiť medzi nimi poprenášať nejaké uhly. Bod $Y$ nemôže ležať aj na oblúku oproti bodu $A$ aj oproti bodu $B$, tak bez újmy na všeobecnosti predpokladajme, že leží oproti bodu $B$. Na kružnici tak budú v poradí $A, B, X, Y$. Na druhej kružnici potom dostaneme už jednoznačne poradnie $C, D, Y, X$.

Označme $\alpha = |\sphericalangle BAC|$. Vďaka obvodovým uhlom na kružnici $k$ vieme tiež, že $|\sphericalangle BDC| = \alpha$. Teraz by sme sa radi pozreli na kružnice, ktoré nám definovali bod $Y$. Vďaka kružnici opísanej $ABX$ dostaneme $$|\sphericalangle BYX| = |\sphericalangle BAX| = \alpha,$$ a vďaka kružnici opísanej $CDX$ zas $$|\sphericalangle CYX| = |\sphericalangle CDX| = \alpha.$$ Dostávame $|\sphericalangle BYX| = |\sphericalangle CYX|$, takže bod $X$ leží na osi uhla $\sphericalangle BYC$.

Druhá vec, ktorú z tohto môžeme vyvodiť je veľkosť uhla $\sphericalangle BYC$, ktorá je $2\alpha$. Bod $S$, ktorý sme zatiaľ nepoužili, tiež spĺňa, že $|\sphericalangle BSC| = 2 \alpha$, keďže sa jedná o stredový uhol k uhlu $\sphericalangle BAC$ na kružnici $k$.

Ak by bod $Y$ ležal v rovnakej polrovine danej priamkou $BC$ ako bod $S$, tak by $B, C, S, Y$ ležali na kružnici. To, že tieto štyri body ležia na kružnici, však vieme dokázať aj bez tohto faktu, s využitím orientovaných uhlov. Vďaka ich využitiu sa síce nedozvieme, či body $Y$ a $S$ ležia v rovnakej polrovine, no dozvieme sa, či sú spolu s $B$ a $C$ na jednej kružnici.¹

Postup bude vlastne rovnaký, ako v prvej časti riešenia. Keďže $A, B, C, D$ ležia na kružnici, platí $\angle BAC = \angle BDC$. Keďže bod $X$ leží na priamkach $AC$ a $BD$, môžeme písať $\angle BAX = \angle XDC$. Spolu s kružnicami opísanými $ABXY$ a $CDXY$ dostaneme zas $$\angle BYX = \angle BAX = \angle XDC = \angle XYC.$$ Opäť tak dostaneme $$\angle BYC = \angle BYX + \angle XYC = 2 \angle BYX = 2 \angle BAC = \angle BSC.$$ Keďže sa tieto orientované uhly rovnajú, body $B, C, Y, S$ ležia na kružnici.

Spolu s informáciou, že $|\sphericalangle BYC| = |\sphericalangle BSC|$ to znamená, že bod $Y$ leží v rovnakej polrovine danej $BC$ ako bod $S$. Ten však zároveň leží na osi úsečky $BC$, keďže je to stred kružnice na ktorej ležia body $B$ a $C$. Skúsený riešiteľ si hneď všimne, že sa jedná o tzv. anti-Švrčkov bod. V obyčajnom Švrčkovom bode (značíme $\check{S}$) sa pretína os uhla, os protiľahlej strany a opísaná kružnica. Anti-Švrčkov bod leží presne oproti nemu, takže $S\check{S}$ je vlastne priemer našej kružnice. Uhol $\sphericalangle SY\check{S}$ je teda pravý a rovnako tak aj uhol $\sphericalangle SYX$, keďže $X$ tiež leží na tejto osi uhla.

Tým pádom už máme hotovo. Rovnaký postup totiž vieme použiť aj na to, aby sme ukázali, že uhol $\sphericalangle SZX$ je pravý. Vďaka Tálesovej vete potom vieme povedať, že $Y$ aj $Z$ ležia na kružnici s priemerom $SX$, z čoho vyplýva požadované tvrdenie.

Dôkaz,

že $B, C, S, Y$ ležia na kružnici, bez orientovaných uhlov

Pripomeňme, že na to, aby $B, C, S, Y$ ležali na kružnici, stačí aby bod $Y$ ležal v rovnakej polrovine danej priamkou $BC$ ako bod $S$. Predpokladajme najprv, že to neplatí, t. j. bod $Y$ leží v opačnej polrovine ako bod $S$.

Uvedomme si, že sme na začiatku predpokladali, že $Y$ je v rovnakej polrovine danej priamkou $BX$ ako bod $A$, takže leží medzi polpriamkami $XA$ a $XD$. Body $A, D, Y$ tak musia ležať v tej istej polrovine danej priamkou $BC$ a teda v opačnej ako je bod $S$. Uhol $\alpha = |\sphericalangle BAC|$ je teda nutne tupý (keďže leží v opačnej polrovine ako stred opísanej kružnice).

Kružnice opísané $ABX$ a $CDX$ majú spoločnú tetivu $XY$, viď obrázok. Na jej osi teda ležia stredy oboch kružníc. Táto os zároveň vyčleňuje dve polroviny – tú s bodom $Y$ budeme nazývať „nad osou“, tú s bodom $X$ „pod osou“. Aby bol uhol $\sphericalangle BYX$ tupý, musí $Y$ ležať v opačnej polrovine danej $BX$ ako stred kružnice. Inými slovami, úsečka $BX$ musí prejsť medzi bodom $Y$ a stredom kružnice, takže bod $B$ musí ležať „nad osou“.

Analogicky, aby bol uhol $\sphericalangle CYX$ tupý, musí aj bod $C$ ležať „nad osou“. Spomeňme si, že na týchto kružniciach ležali body v poradí $A, B, X, Y$ a $C, D, Y, X$. To znamená, že aj bod $A$ musí ležať „nad osou“, takže celá úsečka $AC$ leží „nad osou“, čo je v spore s tým, že bod $X$ na nej leží.