Keďže nie je možné sa stretnúť na akicách osobne, ponúkame nejaké prednášky online. Na tomto mieste nájdeš o nich aktuálne informácie.

Pre koho? Prednášky sú určené pre našich riešiteľov, záujemcom o riešenie alebo hocikomu, koho zaujíma matematika a chce sa niečo nové naučiť.

Prečo? V našich prednáškach sa môžeš dozvedieť zaujímavé veci z matematiky alebo sa zdokonaliť v riešení úloh, s ktorými sa môžeš stretnúť v našom korešpondenčnom seminári, matematickej olympiáde alebo podobných súťažiach.

Kedy? Zvyčajne cez víkendy o 18:00, toľko, koľko sa podarí. Čas však môže byť prispôsobený okolnostiam. Jedna prednáška trvá približne 90 minút. V niektorých prípadoch prednáška môže pokračovať voľným koncom, kedy sa prejdú nejaké úlohy alebo vedúci zodpovedá na otázky.

Ako? Prednášky prebiehajú formou videohovoru, spravidla cez Google Meet, na ktorý sa záujemcovia pripoja a vedúci na ňom odprednáša tému. Na prednáškach bude možnosť pýtať sa otázky a väčšinou aj priestor na zapojenie sa do riešenia nejakých úloh. Konkrétne detaily k prednáškam si vieš prečítať v jej abstrakte. Väčšinu prednášok budeme aj nahrávať a nahrávky uplynulých prednášok budú dostupné na tejto stránke. Už teraz tu môžeš nájsť niekoľko záznamov.

Nahrávanie. Označené prednášky budú nahrávané a ich záznam zverejníme na YouTube. Súčasťou nahrávky bude všetko, čo poviete nahlas. Zapojením sa do prednášky dávate súhlas so zverejnením nahrávky. V prípade, že nič nebudete hovoriť a pýtať sa len v čete, tak na nahrávke nebudete.

Prednášky sú pre lepšie odlíšenie cieľovej skupiny označené obtiažnosťou

  • Ľahká prednáška je určená hlavne tým riešiteľom, ktorí nemajú skúsenosti v danej oblasti. Spravidla sa na nej ide od základov a je to skvelá príležitosť ako sa dostať do niektorej témy.
  • Stredná prednáška je určená tým, ktorí majú nejaké základy alebo skúsenosti ohľadom danej témy. Jej tempo môže byť prirýchle pre riešiteľov, čo sa s témou ešte ne stretli.
  • Ťažká prednáška ja určená skúseným riešiteľom kategórie beta. Býva zväčša zameraná na riešenie náročných úloh, ktoré sa objavujú ako úlohy 9 a 10 v KMSku, na celoštátnych alebo medzinárodných kolách Matematickej olympiády. Tiež takto bývajú označené prednášky, ktoré si vyžadujú vysokú dávku abstrakcie.

Kde získam informácie o nových prednáškach

Kontakt. Ak máš akékoľvek otázky, môžeš napísať na jozef bodka rajnik zavináč trojsten bodka sk.

Chcem vám niečo odkázať! Vyplň anketu na: https://forms.gle/pBuE9bdSsvfT8iza7
Budeme radi, ak nám napíšeš k jednotlivým prednáškam alebo k celkovému nápadu online prednášok ako takých. Daj nám vedieť, čo sa ti páčilo a čo by sme mohli do budúcna spraviť lepšie.

Materiály z prednášok nájdeš aj v zdieľanom priečinku.

Aktuálne prednášky

Delenie polynómov a ich zvyšky

Jožo, stredná až ťažká,
nedeľa 23. 5. 2021 o 18:00
Link na pripojenie: https://meet.google.com/kmh-qszj-ddr
Prednáška bude nahrávaná a zverejnená na YouTube.

Polynómy (mnohočnely) sa v mnohých ohľadoch správajú ako čísla. Vieme ich sčítavať, odčítavať a aj násobiť. Nie vždy ich však vieme deliť. Podobne, ako pri celých číslach, tak aj pri delení polynómov nám môže ostať nejaký zvyšok. A predsa delenie celých čísel a ich zvyšky majú kopec zaujímavých vlastností. Budú platiť aj pri mnohočlenoch? Nájdeme pri polynómoch analógiu k prvočíslam? Na začiatku prednášky si základy práce s polynómami a tiež si ukážeme, ako ich vieme deliť. Potom budeme skúmať ich podobnosť s celými číslami. Záver prednášky bude pomerne abstraktný a spojí sa v ňom viacero pojmov. Pre niektorých poslucháčov môže byť náročný. Pre pochopenie je potrebné mať základy práce so zvyškami po delení, napr. z minulej prednášky Počítanie so zvyškami. S využitím týchto vecí budeme schopní navrhnúť doblle kartičky v prídadoch, kde nám postup z prednášky Dobble nefungoval.

Minulé online prednášky

Nižšie možno nájsť zoznam minulých online prednášok. Väčšina z nich pochádza z Online letnej školy Trojstenu, ktorá prebiehala 13. -- 24. 7. 2020. Zvyšné prednášky môžeš nájsť v jej programe alebo záznamy v YouTube playliste.

Algebra

Ako rýchlo počítať Fibonacciho čísla

Jozef Rajník, stredná, výsledný program, záznam pripravujeme
sobota 27. 2. 2021 18:00

Fibonacciho postupnosť 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... je pomerne známa postupnosť, ktorá začína číslami 1, 1 a každý ďalší člen je súčtom dvoch predošlých. Čo ak by nám niekto dal spočítať nejaké ďaleké Fibonacciho číslo? Počítať postupne všetky čísla po ceste je celkom zdĺhavé. Na prednáške si ukážeme, ako vieme Fibonacciho čísla počítať rýchlejšie. Ukážeme si, ako vieme pri tom využiť násobenie matíc a prečo sa vlastne matice násobia tak divne. Pre absolvovanie prednášky nie je potrebné poznať matice.

Funkcionálne rovnice

Jozef Rajník, stredná, úlohy, záznam pripravujeme
pondelok 5. 4. 2021 o 18:00

Rovnice každý z nás dobre pozná. Čo ale keď v rovnici nemáme hľadať číslo, ale funkciu? Takéto takzvané funkcionálne rovnice sa zvyknú objavovať v KMS aj v Matematickej olympiáde (kategórii A). Ukážeme si, ako k takýmto úlohám pristupovať. Tiež tak získame užitočný pohľad na funkcie, ich vlastnosti a prácu s nimi.

Goniometrické vzorce

Jozef Rajník, stredná, materiál a úlohy, záznam
nedeľa 7. 3. 2021 18:00

Okolo goniometrických funkcií, teda sínus, kosínus, tangens a kotangens je hromada rôznych vzorcov, ktoré nám hovoria, ako môžeme upravovať ich súčty, súčiny a kadejaké iné kombinácie. S mnohými z nich sa ani nemusíte na strednej škole stretnúť. Ešte zriedkavejšie sa možno na strednej škole stretnúť s ich dôkazmi. Na prednáške si ukážeme, že celá nie je potrebné si túto hŕbu goniometrických vzorcov pamätať, nakoľko väčšina z nich sa dá odvodiť len z jedného vzorca. K tomuto vzorcu si aj ukážeme hlavnú myšlienku, prečo platí. Na záver sa pozrieme, ako možno tieto vzorce použiť pri úpravách výrazov a riešeniach rovníc. Tieto veci vám môžu občas prísť vhod na súťažiach, no s veľkou šancou ich budete potrebovať, ak budete matematiku študovať na vysokej škole.

Nerovnosti

Juro Bodík, ťažká, záznam
Online letná škola Trojstenu 2020

Táto prednáška bude skôr vo forme cvičenia- približne 80% prednášky budete počítať Vy a zvyšných 20% budem ja ukazovať pár trikov a riešenia úloh. Cvičenie bude z nerovností, kde začneme tzv permutačnou nerovnosťou (ktorá podľa mňa najlepšie cvičí “cit” na nerovnosti a nie tupé dosadenie známej nerovnosti do problému) a budeme pokračovať na Cauchy-Schwarzovu nerovnosť či zlomkobijca, podľa toho kam sa až dostaneme a akí rýchli budeme. Predpokladám že cvičenie bude trvať dlhšie ako hodinu a pol, keďže počítať príklady zvládate dlhšie ako počúvať prednášku.

Spojme zbrane a. k. a. Limity II

Jozef Rajník, stredná až ťažká, záznam pripravujeme, materiál
sobota 6. 2. 2021 14:00

Prednáška nadväzuje na prednášku Zbrane vs. chmáry a. k. a. Limity I. Na tejto prednáške sa pozrieme na dôležitý prvok boja proti chmáram, a tou je zásadné motto „Spojme zbrane!“ Budeme teda skúmať, ktoré chmáry budeme vedieť poraziť, keď spojíme dve zbrane. Zbrane budeme spájať tak, že ich budeme sčítavať, odčítavať, násobiť alebo deliť. Skúmanie, ako fungujú veci pri takýchto základných operáciách, je bežný prístup pri štúdiu nielen limít, ale aj mnohých iných pojmoch.

Úvod do matíc

Matúš Zubčák, ľahká, 13. 2. 2021, záznam

Matica je niečo ako tabuľka - každý rámček obsahuje jedno číslo. S maticami sa veľká časť z vás stretne na vysokej škole - na algebre, pretože sú jedným z kľúčových nástrojov pre vysokoškolskú matematiku. Matice sú nerozlučne späté s analytickou geometriou a počítačovou grafikou, kde sa využívajú na modelovanie rôznych transformácií objektov v priestore. Svoje uplatnenie však nájdu aj v teórii pravdepodobnosti pri modelovaní n-rozmerných pravdepodobnostných priestorov, štatistike, ekonómii... Proste všade, kde do hry vstupujú lineárne vzťahy. Na tejto prednáške sa zoznámime s maticami, ukážeme si základné operácie s nimi a naučíme sa pomocou matíc riešiť sústavy lineárnych rovníc. Znalosti z tejto prednášky využijeme neskôr v nasledujúcej prednáške, kde sa budeme zaoberať Zhodnoťami a Podobnosťami objektov v rovine.

Kľúčové slová: Matica, súčet, súčin matíc, štvorcová, jednotková, trojuholníková, transponovaná matica, elementárne riadkové úpravy, redukovaná trojuholníková matica, hodnosť matice, gaussova eliminačná metóda

Zbrane vs. chmáry a. k. a. Limity I

Jozef Rajník, stredná, záznam, materiál
nedeľa 31. 1. 2021 16:00

Na prednáške budeme skúmať, proti ktorým chmáram (príšerám) možno použiť ktoré zbrane. Našu zbraň budeme vedieť nastaviť na ľubovoľný level, prirodzené číslo, od ktorého bude závisieť jej sila. Pohráme sa s rôznymi pravidlami, ako boj proti chmáram môže fungovať. Takýmto hravým spôsobom sa zoznámime s dôležitým konceptom matematiky (hlavne vysokoškolskej), a to limitami postupností.

Geometria

Geometria trojuholníka

Jožko Rajník, ľahká, záznam 1. časť, záznam 2. časť, úlohy
Online letná škola Trojstenu 2020

Trojuholník je veľmi zaujímavá vec. Možno nájsť veľa pekných tvrdení, ktoré o ňom platia. Niektoré z nich poznáte zo školy -- výšky a podobné priamky sa pretínajú v jednom bode. Iné až tak známe nie sú. Na prednáške si prejdeme niekoľko takýchto tvrdení. Samozrejme, všetky si dokážeme. Tým sa naučíme veľmi užitočnú vec -- ako pristupovať k dôkazovým geometrickým úlohám. Okrem toho, všetky úlohy, ktoré si preriešime, vám uľahčia riešenie náročnejších geometrických úloh. Zväčšia vám totiž rozhľad a umožnia vám robiť väčšie kroky pri hľadaní riešenia. Úlohy k prednáške

Mocnosť bodu ku kružnici

Jožko Rajník, stredná až ťažká, záznam, úlohy
Online letná škola Trojstenu 2020

Mocnosť bodu ku kružnici je veľmi užitočný nástroj pri riešení geometrických úloh, v ktorých vystupujú kružnice. Pomocou nej vieme dokázať, že štyri body ležia na kružnici, vieme úlohu previesť do počítania dĺžok strán a pomocou chordál vieme ukázať, že sa tri priamky pretínajú v jednom bode. Prednáška bude mať dve časti:

  1. Na začiatku spolu objavíme čo to mocnosť je, ako rôzne sa dá počítať a ukážeme si, čo sú to chordály. Tieto poznatky si aplikuejme na štyroch úlohách, ktorých riešenie pomocou mocnosti je veľmi krátke. Táto časť je určená tým, ktorí o mocnosti ešte nepočuli, príp. toho počuli málo. Pre účasť je potrebné poznať vetu o obvodovom uhle.
  2. Druhá časť začne o 10:00 (príp. neskôr podľa priebehu prvej časti). Rýchlo si zopakujeme základné poznatky o mocnosti a chordálach. Potom budeme riešiť zložitejšie úlohy, v ktorých možno mocnosť a chordály využiť. Prednáška už bude mať ťažkú náročnosť. Je určená tým, ktorí už mocnosť poznajú a chcú sa zdokonaliť v jej využívaní pri riešení úloh. Účasť na prvej časti nie je nutná za splnenia týchto predpokladov. Úlohy k prednáške tu sú zverejnené, takže si ich môžete aj dopredu vyriešiť.

Počítanie uhlov

Jozef Rajník, ľahká, úlohy k prednáške, záznam
nedeľa 14. 2. 2021 18:00**

Geometrické úlohy, ktoré sa objavujú v kategórii beta alebo v Matematickej olympiáde (hlavne tie vyššie kategórie) zvyknú často robiť riešiteľom problémy. Ich riešenie si totiž často vyžaduje používať úvahy, na ktoré nie sú zo školy naučení. Na prednáške sa pozrieme na jednu zo základných zručností pri riešení geometrických úloh, a to na po prácu s uhlami. Ukážeme si, ako môžeme rovnaké uhly prenášať z jedného miesta na druhé, aké tvrdenia a vlastnosti pri tom vieme využiť. Obzvlášť sa zameriame na to, ako pri práci s uhlami vieme využiť kružnice, konkrétne stredové, obvodové, príp. úsekové uhly. Totiž podstatou riešenia mnohých geometrických úloh nájsť tie štyri body, ktoré ležia na jednej kružnici.

Rovnoľahlosť

Jozef Rajník, ťažká, záznam, úlohy
Online letná škola Trojstenu 2020

Rovnoľahlosť je veľmi užitočný nástroj pri riešení mnohých náročnejších geometrických úloh. Pomocou nej vieme dokázať, že sa tri priamky pretínajú v jednom bode, že tri body ležia na priamke, vieme uchopiť stredy strán a dotýkajúce sa kružnice. Na prednáške budeme riešiť úlohy, v ktorých možno rovnoľahlosť využiť. Prednáška je určená tým, ktorí rovnoľahlosť poznajú.

Sínusová veta

Jozef Rajník, stredná, úlohy, záznam
nedeľa 28. 3. 2021 18:00

Mnohým ľuďom je pri riešení geometrie príjemnejšie počítať veci, ako prenášať uhly, hľadať tetivové štvoruholníky či využívať iné geometrické chuťovky. Na prednáške sa zoznámime so sínusovou vetou, ktorá nám prepája veľkosti uhlov s dĺžkami strán. Pozrieme sa potom na niekoľko úloh, v ktorých nám takéto počítanie pomôže.

Zhodné zobrazenia

Jozef Rajník, stredná, úlohy
nedeľa 18. 4. 2021 o 18:00

Zhodné zobrazenia, aspoň niektoré, mnohí z vás poznáte zo školy, minimálne osovú či stredovú súmernosť. Úvahy o rôznych zobrazeniach vedia uľahčiť riešenie mnohých geometrických úloh. Ukážeme si, ako na to. Prednáška poskytne slušné základy pre prácu s ďalšími zobrazeniami, napr. rovnoľahlosťou, ktorú nájdete nižšie v archíve.

Kombinatorika

Dirichletov princíp

Jozef Rajník, od ľahkej po ťažkú, úlohy, záznam
nedeľa 21. 2. 2021 17:00

Na prednáške budeme riešiť úlohy, v ktorých budeme mať ukázať, že za istých podmienok existujú nejaké dve (niekedy aj viac) veci s istou vlastnosťou. Napr. dve nesúdeliteľné čísla, dve čísla s istým rozdielom, dve figúrky na šachovnici, ktoré sa (ne)ohrozujú a iné. Budeme pri tom využívať veľmi jednoduchý princíp: Ak máme viac holubov ako holubníkov, tak aspoň dva holuby musia mať spoločný holubník. Hoci tento princíp, s prívlastkom Dirichletov, nie je ničím svetoborný, možno ho objaviť v mnohých úlohách, aj v tých pomerne náročných.

Na prednáške budeme riešiť úlohy postupne od ľahkých ku ťažším a ťažším. Skončíme pri úlohách, ktoré sa objavili na medzinárodnej matematickej olympiáde. Taktiež si aj ukážeme, ako niektoré takéto úlohy súvisia s technikami, ktoré sa používajú pri návrhu efektívnych algoritmov. K takýmto chuťovkám sa dostaneme asi okolo 18:30, takže si smelo vyberte tú časť prednášky, ktorá vám najviac vyhovuje. Prednáška potrvá s prestávkou približne do 20:00.

Diskrétny kalkul

Jožko Rajník, ťažká, záznam, materiál
Online letná škola Trojstenu 2020

Na prednáške budeme študovať postupnosti čísel: ako sa menia hodnoty členov z predchádzajúceho z nasledovný a aký je súčet prvých niekoľko členov. Tieto problémy sú podobné tomu, keď z priebehu rýchlosti telesa chceme zistiť prejdenú dráhu a zrýchlenie v nejakom čase, teda sú podobné derivovaniu a integrovaniu. Keďže nebudeme pracovať z funkciami na obore reálnych čísel, ale s postupnosťami, riešenie týchto problémov je podstatne jednoduchšie. My si do detailov rozoberieme, ako je táto teória vybudovaná. To vám pomôže uľahčiť pochopiť, ako sú vybudované derivácie a integrály, keď sa tým budete zaoberať na vysokej škole. Na prednáške budeme preberať pomerne náročné koncepty a prejdeme toho celkom veľa, preto je označená ako ťažká. Nevyžaduje však nejaké rozsiahle znalosti, akurát vedieť, čo je to postupnosť.

Dobble

Jožo, ľahká, materiál
sobota 8. 5. 2021 o 18:00

Dobble je celkom populárna postrehová kartová hra. Obsahuje 55 kariet, na každej nejakých 8 symbolov. Dôležitou vlastnosťou týchto kariet je, že každé dve karty majú práve jeden spoločný symbol. Na tomto princípe je založených niekoľko hier, čo sa dá s týmito kartami hrať. Skrýva za však za ním pekná matematika. Bez nej by sme len ťažko správne vybrali správne osmice symbolov na karty. Na prednáške sa pozrieme, čo sa za tým skrýva. Ako by tie kartičky vyzerali, ak by sme chceli menej alebo viac symbolov. Pre nejaké prípady si aj ukážeme, ako kartičky vyrobiť.

Kombinatorické konštrukcie

Jozef Rajník, ťažká, záznam 1. časť, záznam 2. časť
Online letná škola Trojstenu 2020

Niektoré kombinatorické úlohy od nás chcú spraviť istú konštrukciu (napr. vyplniť tabuľku podľa istých kritérií). Pokiaľ je konštrukcia veľká a nezmestí sa nám na papier celá, potrebujeme ju nejako pekne (a aj poriadne, nie iba štýlom "dajak to pôjde") opísať. Na prednáške si ukážeme, ako sa dá pri opisovaní, a hlavne pri tvorbe konštrukcií postupovať. Okrem toho, že budeme mať pekne spísané riešenie, tak nám takéto uvažovanie vie častokrát aj uľahčiť samotné nájdenie konštrukcie.

Náhodné prechádzky

Kika Prešinská, stredná záznam
Online letná škola Trojstenu 2020

Budeme mať opitého námorníka, ktorý sa náhodne pohybuje. Teda s nejakou pravdepodobnosťou pôjde doprava, s nejakou pravdepodobnosťou doľava a pod. Budeme sa zaoberať či padne z blízkeho útesu? Či sa niekedy vráti do krčmy, z ktorej sa tacká domov? Kde očakávame, že sa bude nachádzať po n krokoch? Podobné úlohy sa samozrejme môžu zaoberať aj niečím omnoho závažnejším ako nejaký vymyslený opitý námorník. Môže to byť napríklad pohyb nejakej častice alebo vývoj ceny akcie v čase.

Ofarbovanie

Kika Prešinská, stredná, záznam, úlohy
Online letná škola Trojstenu 2020

Ukážeme si a naučíme sa používať dôkazový postup známy pod názvom Ofarbovanie. Budeme riešiť viacero úloh. Vždy sa budeme pýtať, či sa niečo dá (napríklad rozdeliť na nejaké špecifické skupiny). Potom sa spýtam, že prečo? Správna odpoveď na túto otázku bude zpravidla začínať slovami: Keď si to tie časti takto ofarbíme, tak potom bude platiť, že …

Počítanie spôsobov

Jozef Rajník, ľahká, úlohy, záznam
nedeľa 28. 2. 2021 18:00

Na prednáške budeme počítať, koľkými spôsobmi možno niečo spraviť. Vybrať ľudí, karty, cifry do čísiel a mnohé iné. Zoznámime sa pri tom so základnými typmi úloh na počítanie spôsobov a s úvahami, ktoré pri nich používame. Ukážeme si, ako koľkými spôsobmi možno vybrať prvky s opakovaním / bez opakovania, ak nám záleží / nezáleží na poradí. Spoznáme kombinačné čísla a ich základné vlastnosti.

Pravdepodobnostné paradoxy

Juro Bodík, stredná, záznam
Online letná škola Trojstenu 2020

Chceli by ste vedieť ako zarobiť nekonečne veľa peňazí? V tejto prednáške si ukážeme pár paradoxov v pravdepodobnosti. Viacerí poznáte Monty Hall problém (troje dverí, dve kozy, jedno auto v TV show kde vám moderátor dá na výber ktoré dvere otvoríte). Ukážeme si mnohé ďalšie podobné paradoxy v oblasti pravdepodobnosti a ukážeme si hlavnú myšlienku prečo vznikajú (tá sa skrýva v tom že definícia pravdepodobnosti ktorá sa bežne učí má pár závažných chýb)

Pravdepodobnosť

Kika Kovalčíková, stredná, záznam
Online letná škola Trojstenu 2020

Na tejto prednáške budeme používať niektoré princípy z kombinatoriky. Pozrieme sa do tajomných hlbín pokru a zahráme sa niekoľko hier s kockami, s kartami, ale aj iné hry. Ak nám zostane čas, ukážeme si, kde sa ukrýva číslo pi v náhodnom hádzaní zápaliek na riadkovaný papier.

Rekurencie

Jozef Rajník, stredná, úlohy, záznam
sobota 13. 3. 2021 18:00

Predstavme si, že máme v úlohe určiť výsledok $a(n)$, ktorý závisí od prirodzeného čísla $n$. Napr. počet spôsobov, ako vyjsť schodisko s $n$ schodmi alebo najmenší počet ťahov potrebný na vyriešenie hlavolamu. Niekedy vie byť jednoduchšie miesto priameho vyriešenia problému vyjadriť jeho riešenie pomocou riešenia pre menšie hodnoty $n$. Napr. môžeme prísť na vzťah $a(n) = 42a(n - 1) + 47$. Takýto vzťah, ktorý sa volá rekurentný, nám spolu v kombinácii s niekoľkými prvými hodnotami $a(n)$ jasne definuje hodnoty $a_n$ pre všetky $n$. V niektorých prípadoch nám takýto výsledok postačí na vyriešenie úlohu. Ak však máme určiť, ako vyzerá predpis pre $a_n$, tak tento výsledok nestačí. Preto si na prednáške aj ukážeme, ako z niektorých rekurentných vzťahov dostať riadny predpis.

Štvorčekové siete

Jožo Rajník, ľahká, videoprednáška
videoprednáška 18. 9. 2018

Ťažké grafy

Jožko Rajník, ťažká záznam
Online letná škola Trojstenu 2020

Na prednáške budeme riešiť úlohy z oblasti teórie grafov, ktoré sa objavovali na zahraničných matematických olympiádach. Prednáška je určená tým, ktorí sa už s grafmi stretli a aj vyriešili nejaké úlohy o grafoch. Zíde sa aj poznať nejaké základné tvrdenia o grafoch.

Zisťovanie informácií

Jozef Rajník, stredná, úlohy, záznam
sobota 30. 1. 2021 16:00

Na prednáške sa pozrieme na úlohy, v ktorých máme zisťovať nejakú informáciu. Budeme hádať číslo, váženiami zisťovať hmotnosti mincí a iné. Zaujímať nás bude, nakoľko najmenej krokov to vieme docieliť. Budeme sa sústrediť na tú (zvyčajne) náročnejšiu časť riešenia, a to ako dokázať, že na menší počet krokov to nejde. Jedna z techník, ktoré si ukážeme, sa používala aj v riešeniach úloh 70-A-I-6 a 70-A-II-4 Matematickej olympiády. Na vymýšľanie postupov, ako danú vec pozisťovať na čo najmenší počet krokov moc priestoru nebude. Preto, ak sa s tým chcete pohrať sami, môžete si úlohy pozrieť dopredu. Cez gro prednášky prejdeme za hodinu. Koniec bude voľný, kedy budeme riešiť úlohy podľa toho, ako bude chuť

Teória čísel

Deliteľnosť

Jozef Rajník, ľahká, materiál a úlohy, záznam pripravujeme
sobota 6. 2. 2021 17:15

Ako nájsť všetky prvočísla $p$, $q$, pre ktoré platí, že $q^2 - 4$ je deliteľné $p$ a $p^2 - 1$ je deliteľné $q$? [KMS 14/15-L1-3] S úlohou takéhoto typu sa môžete stretnúť na Matematickej olympiáde alebo v KMS. Štúdium deliteľnosti je jednou zo základných oblastí matematiky. Na prednáške sa s deliteľnosťou zoznámime. Dokážeme si, aké tvrdenia o nej platia. Ukážeme si, ako vieme pristupovať k úlohám, v ktorých máme nejaké deliteľnosti priamo v podmienkach. Avšak príde nám vhod aj pri iných úlohách o celých číslach. Z tohto súdka je aj 6. úloha aktuálneho 1. kola KMS.

Malá Fermatova a Eulerova veta

Jožo, stredná,
sobota 1. 5. 2021 o 18:00

Na prednáške sa pozrieme, ako sa správajú zvyšky po delení nejakým číslom, keď ich postupne umocňujeme na vyššie a vyššie mocniny. Ak ste sa už s niečím takým stretli, tak ste si asi všimli, že po čase sa nám začnú zvyšky opakovať. Ukážeme si, čo vieme povedať o tomto opakovaní, obzvlášť aká môže byť perióda tohto cyklenia – o tom nám vraví Eulerova veta a jej špeciálny prípad Malá Fermatova veta. Tieto vety majú veľké využitie v šifrovaní a tiež prídu vhod aj pri riešení niektorých súťažných úloh. Na koniec tiež naznačíme, čo sú to grupy a ako súvisia s týmito témami.

Počítanie zo zvyškami

Jozef Rajník, stredná, úlohy, záznam
sobota 20. 3. 2021 18:00

Môže sa stať, že $2 + 3 = 1$? Môžeme odmocniť číslo $-1$? V číselných množinách, ktoré sú typické pre stredné školy ako prirodzené, racionálne či reálne čísla, uvedené veci nie sú možné. Môžeme však nájsť číselné množiny, kde by takéto veci platili? Môžu byť vlastne nejaké takéto číselné množiny konečné? Na prednáške si také ukážeme (nie, nebudú to komplexné čísla). Vymyslíme si vlastné číselné množiny a povieme si, ako sa budú tieto naše sčítavať a násobiť. Pri tom nám ako inšpirácia poslúžia zvyšky po delení. Pozrieme sa, ako bude v našich množinách fungovať delenie, riešenie lineárnych či kvadratických rovníc, umocňovanie a odmocňovanie. Veci, ktoré si ukážeme, majú široké uplatnenie na olympiáde, vysokej škole a aj v praxi.

Rovnice s celými číslami

Jozef Rajník, stredná, úlohy, záznam pripravujeme
sobota 10. 4. 2021 o 18:00

Na prednáške budeme riešiť rovnice, v ktorých budeme hľadať iba celočíselné riešenia, hlavne tie, ktoré sa objavili niekedy v KMSku. Tieto rovnice spravidla obsahujú viac premenných ako máme rovníc. Práve podmienka celočíselnosti nám umožňuje využiť pri riešení špeciálne vlastnosti celých čísel a tak sme schopní si poradiť aj s rovnicami, ktoré by v reálnych číslach išli vyriešiť veľmi ťažko (ak vôbec).

Čas poslednej úpravy: 12. máj 2021 16:54