Zadanie
Na ihrisku sú vysadené stromy. Nie sú vysadené len tak hocijako, ale totálne symetricky. Konečná množina \(\mathsf{M}\) bodov v rovine sa nazýva totálne symetrická, ak obsahuje aspoň 3 body a pre každú dvojicu bodov \(A,\, B\) množiny \(\mathsf{M}\) je množina \(\mathsf{M}\) osovo symetrická vzhľadom na os úsečky \(AB\). Dokážte, že ak má totálne symetrická množina \(n\) bodov, tak jej body tvoria vrcholy pravidelného \(n\)-uholníka.
Poďme sa hrať s množinou \(\mathsf{M}\). Preklápajme si ju podľa osí úsečiek. Vždy, keď ju preklopíme, tak dostaneme znovu \(\mathsf{M}\). Teda \(\mathsf{M}\) sa preklápaním cez osi vôbec nehýbe. O tom chceme povedať niečo viac. Čo nám vie niečo povedať o polohe bodov v rovine? Napríklad ich ťažisko.
Ťažisko je v tejto chvíli pre nás super bod, lebo sa pri preklápaní neposúva (ako celá množina \(\mathsf{M}\)). Čiže leží na každej osi úsečiek. Keďže ťažisko leží na každej osi úsečky dvojici bodov z \(\mathsf{M}\), tak každá dvojica bodov z množiny \(\mathsf{M}\) s ním tvorí rovnoramenný trojuholník. Teda všetky body z množiny \(\mathsf{M}\) sú od neho rovnako vzdialené. Všetky teda ležia na kružnici so stredom v ťažisku.
Čo nám ešte treba ukázať na to, aby body množiny \(\mathsf{M}\) tvorili vrcholy pravidelného \(n\)-uholníka? Že sú na kružnici pravidelne (t. j. že sú medzi nimi rovnaké vzdialenosti). Stačí ukázať, že od ľubovoľného vrcholu sú susedné vrcholy rovnako vzdialené. Poďme na to.
Nech \(A\), \(B\), \(C\) sú po sebe idúce vrcholy na kružnici. Chceme ukázať, že \(|AB| = |BC|\). Inak povedané, že vrchol \(B\) leží na osi úsečky \(AC\). Označme si \(B'\) bod, čo vznikne z bodu \(B\) preklopením cez os úsečky \(AC\). (Ukážeme, že oba body \(B\) a \(B'\) ležia na kružnici medzi \(A\) a \(C\), a teda bod \(B'\) je totožný s bodom \(B\). Týmto bude dôkaz hotový.)
Os úsečky \(BB'\) prechádza ťažiskom, teda \(B'\) leží na kružnici. Keďže zároveň platí \(BB' || AC\) (obe sú kolmé na os úsečky \(AC\)), tak body \(B\), \(B'\) ležia na rovnakej strane úsečky \(AC\). Keďže susedné vrcholy vrcholu \(B\) sú \(A\) a \(C\), vrchol \(B'\) musí byť totožný s vrcholom \(B\), teda vrchol \(B\) leží na osi \(AC\).
Ukázali sme, že body množiny \(\mathsf{M}\) ležia na kružnici a sú medzi nimi rovnaké vzdialenosti. Z toho vyplýva, že tvoria pravidelný \(n\)-uholník.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.