Zadanie

Terezka, Kristínkina staršia sestra, si tiež zobrala kriedy. Keďže je však staršia, namiesto nezmyselných čarbaníc si nakreslila trojuholník \(ABC\). Vpísala do neho kružnicu, ktorá sa dotýkala strán \(BC,\,AC,\,AB\) postupne v bodoch \(D,\,E,\,F\). Označila \(K,\,L,\,N,\,M\) postupne stredy úsečiek \(FB,\,BD,\,CD,\,EC\). Nakoniec priesečník priamok \(KL\) a \(MN\) pomenovala \(P\). Dokážte, že \(|BP|=|CP|\).

Spôsobov ako sa dala riešiť táto úloha je viacero. Ukážeme riešenie nadväzujúce na nápovedu. Toto riešenie využíva vlastnosti chordál, o ktorých sa môžete dočítať aj v našej KMS zbierke. Spätne vysvetlené, chordála je množina bodov, ktoré majú rovnakú mocnosť k dvom kružniciam. Mocnosť bodu \(M\) ku kružnici so stredom \(S\) a polomerom \(r\) je číslo \(|MS|^2-r^2\) a toto číslo je zároveň dĺžka dotyčnice z bodu \(M\) umocnená na druhú, čo sa dá ľahko overiť Pytagorovou vetou. Ňou vieme overiť aj to, že chordála je priamka. Na záver spomenieme, že vieme využiť aj kružnicu s nulovým polomerom, t. j. bod. Cez vzdialenosť od stredu vieme presne definovať mocnosť bodu k bodu a chordála bodu a kružnice (aj dvoch bodov) bude stále priamka. V tejto úlohe to bude obzvlášť užitočné.

Zoberme si body \(B\), \(C\) a kružnicu \(k\), ktorá je vpísaná trojuholníku \(ABC\). Chordála kružnice \(k\) a bodu \(B\) je priamka \(KL\). Chordála kružnice \(k\) a bodu \(C\) je priamka \(MN\). Bod \(P\) teda leží na týchto dvoch chordálach. Keďže chordála je množina bodov majúcich rovnakú mocnosť k daným dvom kružniciam, tak bod \(P\) musí mať rovnakú mocnosť k bodu \(B\) a kružnici \(k\), lebo leží na priamke \(KL\). Zároveň bod \(P\) musí mať rovnakú mocnosť k bodu \(C\) a kružnici \(k\), lebo leží na priamke \(MN\). Tým pádom má bod \(P\) rovnakú mocnosť k bodu \(B\) ako k bodu \(C\). To znamená, že \(|PB|^2=|PC|^2\) (to je jeho mocnosť, lebo polomer je \(0\)), teda \(P\) musí byť od oboch bodov vzdialený rovnako a úloha je tým dokázaná.

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.