Zadanie
Maťko po šokujúcich zisteniach Kiky a Joža o rovnobežiacich Dánoch a Belgičanov začal svoj výskum na Nemcoch. Štvoruholníku ABCD, ktorému vieme vpísať kružnicu, platí navyše, že |AB|=|CD|, |BC|<|AD| a strany BC a AD sú rovnobežné. Dokážte, že os uhla BCD rozpoľuje plochu štvoruholníka ABCD.
Štvoruholník zo zadania si nakreslíme, a dostaneme nasledujúci obrázok:
Aby sme naň mohli lepšie odkazovať, označme si stred vpísanej kružnice S, ďalej priesečník osi uhla BCD a úsečky DA označíme E, a vyznačme ešte os uhla ABC a jej priesečník s úsečkou DA označme F.
Chceme ukázať, že trojuholník DEC (zelená) a štvoruholník EABC (modrá) majú rovnaký obsah.
Lichobežník, ktorý máme zo zadania, je rovnostranný. Preto uhly, pri vrcholoch A a B sú rovnaké ako uhly pri vrcholoch D a C. Lichobežník je teda osovo symetrický. Preto aj os uhla ABC ho delí rovnako ako os BCD. Keď máme nakreslené obe tieto osi a vieme že lichobežník je osovo symetrický, je ľahké všimnúť si, že štvoruholníky EABS (tmavomodrá) a DFSC (tmavozelená) majú rovnaký obsah. Keď sa teraz pozrieme na naše pôvodné oblasti, ktorých rovnosť chceme dokázať, a odmyslíme si tieto dva štvoruholníky, ostáva nám ukázať rovnosť obsahov trojuholníkov FES (bledomodrá) a SBC (bledozelená).
Bod S je v strede medzi rovnobežkami BC a AD, a teda úsečky CE a BF delí na polovicu. Okrem toho, uhly CSB a ESF sú vrcholové, a teda majú rovnakú veľkosť. Z toho už vidíme, že naše trojuholníky sú zhodné, a teda majú rovnaký obsah.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.