9. Kuchtenie Múčnika Starkinho vzorové riešenie

Dôkaz nerovnosti

O nejakom výraze máme ukázať, že nikdy nebude záporný. Keďže čísla \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) sú kladné, je aj ich súčet vždy kladný. Preto sú menovatele všetkých zlomkov výrazu na ľavej strane dokazovanej nerovnosti vždy kladné. To ale neplatí o ich čitateľoch. S číslami, ktoré môžu byť záporné, sa ale v nerovnostiach pracuje veľmi nepríjemne, lebo potom nemôžeme využívať niektoré známe nerovnosti ako napríklad AG-nerovnosť. Poďme preto najprv upraviť dokazovanú nerovnosť tak, aby boli všetky zlomky na ľavej strane vždy kladné.

Spraviť tieto zlomky kladnými vieme najľahšie tak, že k nim pripočítame nejaké konkrétne číslo. Tým sa menovatele zachovajú, no k čitateľu daného zlomku pripočítame nejaký násobok menovateľa tohto zlomku. Aby sme sa zbavili mínusov v čitateľoch a zároveň čitatele obsahovali čo najjednoduchší výraz, dáva zmysel pripočítať ku každému zlomku číslo \(1\). Pozrime sa, čo to spraví s prvým zo zlomkov: \[\frac{a-b}{b+c}+1=\frac{a-b}{b+c}+\frac{b+c}{b+c}=\frac{a+c}{b+c}\] Keď toto spravíme pre každý zo zlomkov, dostaneme na dokazovanie ekvivalentnú nerovnosť (nesmieme však zabudnúť pripočítať \(4\) na pravú stranu, \(1\) za každý zo zlomkov): \[\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{c+a}{d+a}+\frac{d+b}{a+b}\geq4\] Síce sme týmto naoko sťažili to, čo chceme dokázať (nezápornosť nejakého výrazu sa zvyčajne ukazuje jednoduchšie ako to, že je niečo väčšie alebo rovné ako nejaké číslo), no na ľavej strane dokazovanej nerovnosti už máme iba kladné výrazy. Všimnime si, že zlomky na ľavej strane majú iba dva typy čitateľov: \(a+c\) alebo \(b+d\).

To nás môže navádzať na to, že by sa nám mohlo zísť to, že sa pozrieme na zlomky s rovnakým čitateľom. Pozrime sa najprv na zlomky s čitateľom \(a+c\) a prepíšme ich do jemne krajšieho tvaru: \[\frac{a+c}{b+c}+\frac{c+a}{d+a}=(a+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a})\] Tu si môžeme všimnúť ďalšiu zaujímavú vec – že každé z čísel \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) sa vyskytuje v niektorom z menovateľov druhej zátvorky práve raz. Zatiaľ ale nemáme spôsob, ako ich dať nejako dokopy. Keby sme ale vedeli nejako tieto zlomky prevrátiť, tak by sa pekne dali dokopy. Ak máme nejaké skúsenosti s nerovnosťami, tak tu by nám už malo napadnúť, že potrebujeme použiť AH-nerovnosť.

Na pripomenutie, AH-nerovnosť hovorí, že aritmetický priemer niekoľkých kladných reálnych čísel je vždy väčší alebo rovný ako ich harmonický priemer. Navyše nám hovorí, že rovnosť nastáva vtedy, keď sú všetky priemerované čísla rovnaké. Pre dve kladné reálne čísla \(x\) a \(y\) tak AH-nerovnosť vyzerá takto¹: \[\frac{x+y}{2}\geq\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\] Keď teda použijeme AH-nerovnosť na čísla \(x=\frac{1}{b+c}\) a \(y=\frac{1}{d+a}\), dostaneme platnú nerovnosť: \[(a+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a})\geq(a+c)\frac{4}{(b+c)+(d+a)}=\frac{4(a+c)}{a+b+c+d}\] Podobným spôsobom vieme dostať takúto nerovnosť aj pre zlomky s čitateľmi \(b+d\). Platia tak určite tieto dve nerovnosti: \[\frac{a+c}{b+c}+\frac{c+a}{d+a}\geq\frac{4(a+c)}{a+b+c+d}\] \[\frac{b+d}{c+d}+\frac{d+b}{a+b}\geq\frac{4(b+d)}{a+b+c+d}\] Ich sčítaním dostávame, že platí: \[\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{c+a}{d+a}+\frac{d+b}{a+b}\geq\frac{4(a+c)}{a+b+c+d}+\frac{4(b+d)}{a+b+c+d}=\frac{4(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=4\] Tým sme dokázali, že platí nami upravená nerovnosť. Tá je ale ekvivalentná s tou zo zadania, a tak sme ukázali, že platí aj tá.

Kedy nastáva rovnosť?

Zadanie od nás ale ešte chce, aby sme určili, kedy v tejto nerovnosti nastáva rovnosť. Na to musí nastať rovnosť vo všetkých nerovnostiach, ktoré sme použili. Použili sme avšak iba dve AH-nerovnosti, a tak práve v nich museli nastať rovnosti. Ako sme si už povedali, v AH-nerovnosti nastáva rovnosť iba vtedy, keď sú priemerované kladné reálne čísla rovnaké. Tie sú rovnaké v tomto prípade, ak platia pre jednotlivé AH-nerovnosti tieto vzťahy: \[\frac{1}{b+c}=\frac{1}{d+a}\implies d+a=b+c\] \[\frac{1}{c+d}=\frac{1}{a+b}\implies a+b=c+d\] Keď sčítame tieto dve podmienky, dostávame: \[2a+b+d=2c+b+d \implies a=c\] Dosadením naspäť napríklad do prvej z podmienok dostávame rovno \(b=d\). Ľahko si overíme, že pre štvoricu kladných reálnych čísel \((a,b,a,b)\) naozaj nastávajú rovnosti v oboch AH-nerovnostiach a aj v pôvodnej nerovnosti².

Takže sme ukázali, že dokazovaná nerovnosť platí pre všetky reálne čísla a aj to, že rovnosť v nej nastane pre všetky usporiadané štvorice \((a,b,c,d)\) tvaru \((a,b,a,b)\), kde \(a\), \(b\) sú nejaké kladné reálne čísla.