10. Krtko Mýlil Sa vzorové riešenie

\[x^2 - y^3 = 999.\]

Máme pred sebou rovnicu v celých číslach, môžeme teda začať tým, že sa na ňu pozrieme modulo nejaké malé číslo a budeme skúmať zvyšky po delení, ktoré dávajú jednotlivé strany.

Ak by \(y\) bolo párne, bolo by \(y^3\) deliteľné \(8\) a mali by sme \(x^2 \equiv 999 \equiv 7 \pmod 8\), čo ale nastať nemôže, pretože druhé mocniny majú zvyšky modulo \(8\) iba \(0\), \(1\) a \(4\). Môžete sa presvedčiť tak, že si umocníte jednotlivé zvyšky od \(0\) do \(7\) na druhú. V skutočnosti stačí overovať len po \(4\), pretože napríklad \(6^2 \equiv (-2)^2 \equiv 2^2 \pmod 8\).

Preto je \(y\) nepárne, čiže \(y = 2k + 1\) pre nejaké celé číslo \(k\).

Rovnicu upravíme do tvaru \[\begin{align} x^2 + 1 &= y^3 + 1000 = (y + 10)(y^2 - 10y + 100) =\\ &= (2k + 11)(4k^2 + 4k + 1 - 20k - 10 + 100)=(2k + 11)(4k^2 - 16k + 91).\end{align}\] Druhá zátvorka má zvyšok \(91 \equiv 3 \pmod 4\), preto musí byť deliteľná nejakým prvočíslom \(p\) tvaru \(4l + 3\). Dvojkou byť deliteľná nemôže a keby bola deliteľná len prvočíslami tvaru \(4l + 1\), mala by zvyšok \(1\) modulo \(4\) (všetky jednotky by sa vynásobili na jednotku modulo \(4\)).

Ešte by sa to dalo obísť tak, že by bola záporná (napr. \(-5\) alebo \(-1\) majú zvyšok \(3\) po delení \(4\) a nie sú deliteľné žiadnym prvočíslom tvaru \(4l+3\)). Avšak to sa nám stať nemôže, pretože \((4k^2 - 16k + 91) = (2k - 4)^2 + 75\), čo je vždy kladné.

Potom \(p\) delí pravú stranu rovnice, takže delí aj ľavú, čiže \(x^2 + 1 \equiv 0 \pmod p\). To je ale spor, pretože \(-1\) nikdy nie je kvadratický zvyšok (zvyšok \(x^2\) pre nejaké \(x\)) modulo prvočíslo tvaru \(4l+3\). Rovnica preto nemá žiadne celočíselné riešenie.

To, že \(-1\) nie je kvadratický zvyšok modulo žiadne prvočíslo tvaru \(4l+3\), je známe tvrdenie, ale tých, čo ho nepoznáte, to asi neuspokojí. Poďme si to teda poriadne zdôvodniť. Každé číslo \(x\) nesúdeliteľné s modulom má svoj tzv. rád, čo je najmenšia kladná mocnina, na ktorú ho musíme umocniť, aby sme dostali \(1\), teda \(x^r \equiv 1 \pmod p\), kde \(r\) je rád \(x\) modulo \(p\). Zvyšky mocnín \(x\) sa potom opakujú s periódou rovnou jeho rádu.

Predpokladajme, že platí \(x^2\equiv -1 \pmod p\). Aký môže byť rád \(r\) čísla \(x\)? Z nášho predpokladu vieme, že \(x^4 = (x^2)^2 \equiv (-1)^2 = 1 \pmod p\). Teda rád musí byť \(1\), \(2\) alebo \(4\) (rozmyslite si, prečo nemôže byť \(3\)). Z Malej Fermatovej vety vieme, že \(x^{p-1} = x^{4l+2} \equiv 1 \pmod p\). Z toho plynie, že rád musí deliť \(4l+2\) (pretože je to najmenšia perióda a \(4l+2\) je nejaký neznámy počet celých periód), a teda \(r \not= 4\).

Ak \(r=1\), tak máme \(x \equiv 1 \pmod p\). Ak \(r=2\), tak máme \(x^2 \equiv 1 \pmod p\). V oboch prípadoch platí \(-1 \equiv x^2 \equiv 1 \pmod p\), z čoho nutne musí byť \(p=2\), ale to nie je tvaru \(4l+3\). Tým sme ukázali, že \(-1\) nemôže byť kvadratický zvyšok pre žiadne prvočíslo tvaru \(4l+3\) a náš dôkaz je hotový.