7. Kvartický Mnohočlen Schovaný vzorové riešenie

Ako nám napovedá aj vtip v zadaní, s polynómami vieme pekne pracovať, keď poznáme ich korene, teda hodnoty, kde \(P(x) = 0\). Zadanie nám o koreňoch polynómu nič nehovorí, ale môže sa nám zdať podozrivé, že \(P(1) = 1\), \(P(3) = 3\) a \(P(x) \geq x\). Môžeme si teda definovať druhý polynóm \(Q(x) = P(x) - x\). Potom zo vzťahov, ktoré sme práve spomínali, dostaneme, že \(Q(x) \geq 0\) pre všetky \(x\) a zároveň \(1\) a \(3\) sú korene. Polynóm \(Q\) bude tiež štvrtého stupňa, rovnako ako \(P\).

Keď má polynóm nejaký koreň \(r\), tak ten polynóm vieme vydeliť \((x - r)\). \(Q(x)\) teda vieme napísať ako \((x - 1)(x - 3)R(x)\), kde \(R(x)\) je polynóm druhého stupňa (keďže \(Q(x)\) má byť štvrtého). Musí platiť, že \((x - 1)(x - 3)R(x) \geq 0\). Z tejto nerovnosti vieme vyjadriť \(R(x)\) a rozdeliť si to na niekoľko prípadov.

Ak je \(x < 1\), potom sú \((x - 1)\) aj \((x - 3)\) záporné, ich súčin je kladný, takže musí byť \(R(x) \geq 0\), aby bolo aj \(Q(x) \geq 0\). Podobne, ak je \(1 < x < 3\), musí byť \(R(x) \leq 0\) a pre \(x > 3\) musí byť znovu \(R(x) \geq 0\).

Keďže polynómy sú spojité, musí platiť \(R(1) = R(3) = 0\).¹ \(1\) a \(3\) sú teda korene aj polynómu \(R(x)\). Keďže \(R(x)\) je druhého stupňa, vieme ho napísať ako \((x - 1)(x - 3)c\), kde \(c\) je nejaká (nezáporná) konštanta.

Z toho vieme vyjadriť aj pôvodný polynóm \(P(x) = (x - 1)^2(x - 3)^2c + x\). Zostáva ešte zistiť, čo môže byť \(c\). Na to využijeme poslednú informáciu v zadaní, ktorú sme ešte nevyužili, a to že \(P(2) = 4\). Dostávame \[\begin{align} (2 - 1)^2(2 - 3)^2c + 2 &= 4, \\ 1 \cdot 1 \cdot c + 2 &= 4, \\ c &= 2.\end{align}\]

Dostávame, že \(P(x) = 2(x - 1)^2(x - 3)^2\), čo aj naozaj vyhovuje zadaniu.

Iné riešenie

Rovnako ako v predošlom riešení si definujeme \(Q(x) = P(x) - x\). Vieme, že \(Q(x)\) má korene \(1\) a \(3\) a je všade \(\geq 0\). V koreňoch sa teda jeho graf dotýka \(x\)-ovej osi. Je známe, že ak sa polynóm v koreni \(r\) dotýka \(x\)-ovej osi, tak je to viacnásobný koreň, teda polynóm môžeme vydeliť \((x - r)^2\). Takto rovno dostaneme \(Q(x) = (x - 1)^2(x - 3)^2c\), keďže súčin vybratých zátvoriek je už štvrtého stupňa. Hodnotu \(c\) dopočítame rovnako ako v predchádzajúcom riešení.