8. Kolmíc Miesto Stretu vzorové riešenie

Jeden z kľúčových krokov k vyriešeniu úlohy bolo poradiť si s bodmi \(K\) a \(L\). V tom nám mohlo pomôcť známe tvrdenie, že v trojuholníku sa os strany a os uhla pri vrchole oproti tejto strane pretínajú na kružnici opísanej tomuto trojuholníku v tzv. Švrčkovom bode. Z toho vyplýva, že \(K\) leží na kružnici opísanej trojuholníku \(ABD\) a \(L\) zas na kružnici opísanej trojuholníku \(ACD\).

Označme si \(I\) stred vpísanej kružnice trojuholníka \(ABC\), ktorý, ako je známe, je priesečníkom osí vnútorných uhlov trojuholníka. Všimnime si, že priamka \(DI\) je kolmá na \(KL\) zo zadania, keďže priamka \(KL\) je os úsečky \(AD\). Následne nám stačí ukázať, že priamka \(LI\) je kolmá na \(DK\), pretože priamky \(LI\) a \(DI\) budú potom výšky v trojuholníku \(KLD\) postupne z vrcholov \(L\) a \(D\), pričom \(I\) bude ich priesečník, čo je presne to, čo chceme dokázať.

Tak poďme dokázať, že \(LI\) je kolmá na \(DK\), čo vieme dosiahnuť prenesením zopár uhlov. Konkrétne dokážeme, že uhol v bode \(M\), ktorý si zadefinujme ako priesečník priamok \(LC\) a \(KD\), je pravý. Uhly v trojuholníku si označíme klasicky \(\alpha,\beta,\gamma\). Najprv využijeme už spomenutý fakt, že \(KABD\) je tetivový štvoruholník, teda platí, že \(|\sphericalangle{AKD}|=180^\circ-\beta\). Analogicky aj \(|\sphericalangle{ALD}|=180^\circ-\gamma\). Ďalej si všimnime, že trojuholníky \(KLD\) a \(KLA\) sú osovo súmerné podľa priamky \(KL\). Teda priamka \(KL\) je aj osou uhlov \(AKD\) a \(ALD\). Teraz môžeme smelo určiť hodnotu \[|\sphericalangle{KAL}|=180^\circ-|\sphericalangle{ALK}|-|\sphericalangle{AKL}|=180^\circ-\frac{1}{2}\cdot(|\sphericalangle{AKD|}+|\sphericalangle{ALD}|)=\frac{\beta+\gamma}{2}.\] Z osovej súmernosti vieme aj, že \(|\sphericalangle{KAL}|=|\sphericalangle{KDL}|\). Ďalej z obvodových uhlov si všimnime, že \[|\sphericalangle{DAC}|=|\sphericalangle{DLC}|=\frac{\alpha}{2}.\] Nič nám teraz nebráni vyrátať \[|\sphericalangle{LMD}|=180^\circ-|\sphericalangle{DLM}|-|\sphericalangle{LDM}|=180^\circ-\frac{\alpha+\beta+\gamma}{2}=90^\circ,\] čiže priamka \(LI\) je kolmá na \(DK\), čo je ako už bolo vyššie popísané všetko potrebné na vyriešenie tejto úlohy.