9. Kardinalita Množiny Štvorcová vzorové riešenie

Nech \(a\) a \(b\) sú vyhovujúce súdeliteľné čísla s najväčším spoločným deliteľom \(l\), potom¹ \(a=lp\), \(b=lq\), \((p,q)=1\). \[\frac{ab}{a+b}=\frac{l^2pq}{l(p+q)}=\frac{lpq}{p+q}.\]

Platí, že \((pq, p+q)=1\), pretože \(p\) a \(q\) sú nesúdeliteľné s \(p+q\). Ak by totiž nejaké číslo \(d\) delilo \(p\) a \(p+q\), tak by potom delilo aj ich rozdiel, čo znamená, že \(d\mid q\), \(d\mid p\), ale \(p\) a \(q\) sú nesúdeliteľné. Rovnakým spôsobom by sme to ukázali pre \(q\).

Takže \(p+q\) musí deliť samotné \(l\) z čitateľa, to znamená, že \(l=k(p+q)\). Dostávame \[\frac{lpq}{(p+q)}=\frac{k(p+q)pq}{(p+q)}=kpq,\] pričom \(k,p,q\in \mathbb{N}\), \((p,q)=1\). Pritom \(k\) môže byť súdeliteľné s \(p\) alebo \(q\).

Keďže \(\frac{ab}{a+b}\mid n\), potom aj \(kpq\mid n\), čiže \(k,p,q\) sú delitele \(n\). Ďalej budeme počítať počet vyhovujúcich trojíc \((k, p, q)\), kde \(kpq\mid n\) a čísla \(p\) a \(q\) sú nesúdeliteľné. Môžeme si všimnúť, že tento počet bude rovnaký ako hľadaný počet vhodných dvojíc \((a, b)\), pretože každá trojica \((k, p, q)\) nám jednoznačne dáva dvojicu \((a, b)\) podľa vzťahov \(l=k(p+q), a=lp, b=lq\) a táto skutočne vyhovuje podmienke zadania, pretože \(\frac{ab}{a+b}=kpq \mid n\).

Rôzne trojice \((k, p, q)\) nám dajú rôzne dvojice \((a, b)\), pretože z dvojice \((a, b)\) vieme jednoznačne určiť \(l, p, q\) a z toho jednoznačne dopočítať \(k\).

Najprv sa pozrieme na prípady, keď \(n\) je rovné \(1\), prvočíslu a mocnine prvočísla. Pre \(1\) vidíme, že je len jedna možnosť \(k=p=q=1\). Pre každé prvočíslo sú \(4\) možnosti, buď sa všetky tri čísla rovnajú \(1\) alebo jedno z nich je dané prvočíslo. \(1\) a \(4\) sú druhé mocniny, čiže v týchto prípadoch to platí.

V prípade, že \(n=P^m\) pre nejaké prvočíslo \(P\), dostaneme dva podprípady:

1. \(p=q=1\): v tomto prípade dostávame \(m+1\) možnosti, lebo \(k\) sa môže rovnať \(1,P^1,P^2,\dots, P^m\).

2. \(p=P^s\), alebo \(q=P^s\), kde \(s \in \{1, \dots, m\}\): keďže \(p\) a \(q\) sú nesúdeliteľné, to druhé z nich musí byť \(1\). Pre pevne zvolené \(s\) potom máme \((m+1-s)\) možností pre \(k\) (\(k\) môže nadobúdať hodnoty od \(P^{0}\) po \(P^{m-s}\)). Keďže si navyše vyberáme, či \(p\) bude \(P^s\) a \(q\) bude \(1\) alebo naopak, máme dokopy \(2(m+1-s)\) možností. Celkový počet možností cez všetky \(s\) je teda \(2(1+2+3+\dots+m)\). Tento súčet je rovný \(2\frac{m(m+1)}{2}=m(m+1)\).

Takže dokopy dostaneme \((m+1)+m(m+1)=(m+1)(m+1)=(m+1)^2\).

Posledný prípad je, keď \(n\) má dvoch alebo viac prvočíselných deliteľov, teda \(n = P_1^{m_1} \dots P_t^{m_t}\). V tomto prípade možnosti, ako rozdeliť jednotlivé mocniny prvočíselných deliteľov medzi \(k\), \(p\) a \(q\) sú navzájom od seba nezávislé, čo znamená, že celkový počet možností bude súčin počtov možností pre jednotlivé mocniny prvočísel. Každé \(P_i^{m_i}\) bude mať \((m_i+1)^2\) možností a súčin druhých mocnín je druhá mocnina.

Takže pre všetky \(n\) je tento počet druhou mocninou vyjadrenou ako \(((m_1+1)(m_2+1)(m_3+1)\dots(m_t+1))^2\), kde \(m_i\) sú exponenty jednotlivých prvočíselných deliteľov čísla \(n\). Môžeme si všimnúť, že ide dokonca o druhú mocninu počtu deliteľov \(n\).