10. Krotenie Monštra Skazy

Jedna starodávna legenda hovorí o monštre skazy, ktorú sa už niekoľko krotiteľov pokúsilo skrotiť do svojho cirkusu. Žiaľ, neúspešne. Podarí sa vám skrotiť monštrum a vyliezť mu na rovnako dlhé ramená?

Daný je trojuholník \(ABC\) s opísanou kružnicou \(k\) a so stredom vpísanej kružnice \(I\). Označme \(J\) obraz bodu \(I\) v osovej súmernosti podľa priamky \(BC\). Nech \(\check S\) je priesečník kružnice \(k\) s priamkou \(AI\). Ďalej nech \(P\) je druhý priesečník kružnice \(k\) s priamkou \(\check SJ\). Dokážte, že \(|PI|=|AI|\).